Slaskövning22
SamverkanLinalgLIU
Övning 22.1
Låt \displaystyle O\boldsymbol{e}_1\boldsymbol{e}_2\boldsymbol{e}_3 vara ett ON-system i rummet. Bestäm egenvärden och egenvektorer för den linjära avbildning som beskriver
a) ortogonal projektion i planet \displaystyle x_1+x_2+x_3=0
b) spegling i planet \displaystyle x_1+x_2+x_3=0
c) vridning \displaystyle \pi/2 kring \displaystyle \boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3
d) vridning \displaystyle \pi kring \displaystyle \boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3
Hämtar...
Övning 22.2
Låt \displaystyle F vara en linjär avbildning på rummet med matrisen \displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr}1&-1&-1\\-2&0&1\\2&2&1\end{array}\right) .
a) Visa att \displaystyle \lambda_1=1 är ett egenvärde med tillhörande egenvektor \displaystyle \boldsymbol{v}_1=\underline{\boldsymbol{e}} \left(\begin{array}{r}1\\-1\\1\end{array}\right) till \displaystyle F .
b) Visa att \displaystyle \boldsymbol{v}_2=\underline{\boldsymbol{e}} \left(\begin{array}{r}0\\-1\\1\end{array}\right) är en egenvektor till \displaystyle F . Bestäm tillhörande egenvärde \displaystyle \lambda_2 .
c) Visa att \displaystyle \lambda_3=2 är ett egenvärde till \displaystyle F och bestäm tillhörande egenvektor \displaystyle \boldsymbol{v}_3 .
Övning 22.3
Antag att \displaystyle F är en linjär avbildning i rummet som har matrisen
\left( \begin{array}{rrr} 3& 1&0 \\ 0&3& 0 \\ 0& 0& 1 \end{array}\right).
a) Bestäm egenvärdena till \displaystyle F .
b) Bestäm egenrummen till \displaystyle F .
Övning 22.4
Bestäm en bas för \displaystyle {\bf R}^3 av egenvektorer till matrisen
\left(\begin{array}{rrr} 9& -4& -5\\ -3& 8& -5\\ -3& -4& 7\end{array}\right).
Övning 22.5
Avbildningen \displaystyle F:{\bf R^3}\rightarrow{\bf R^3} ges i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} av matrisen \displaystyle \left(\begin{array}{rrr} -1& 2& 2\\ 0& 1& 2\\ 0& 0& -1\end{array}\right) .
Bestäm en bas bestående av egenvektorer till \displaystyle F .
Övning 22.6
Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} =\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} vara en bas för rummet. En linjär avbildning \displaystyle F på rummet ges av
F(\boldsymbol{e}_1)=2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2,\qquad F(\boldsymbol{e}_2)=\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2,\qquad F(\boldsymbol{e}_3)=3\boldsymbol{e}_1+3\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3.
Bestäm om möjligt en bas för rummet som består av egenvektorer till \displaystyle F .
Övning 22.7
Avbildningen \displaystyle F ges i plan ON-bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} av matrisen \displaystyle \left(\begin{array}{rrr} 2& -1 \\ 1 & 0\end{array}\right) . Bestäm egenvärden och egenvektorer till \displaystyle F . Finns det någon bas bestående av egenvärden och egenvektorer? Bestäm en ON-bas som innehåller så många egenvektorer som möjligt och bestäm \displaystyle F :s matris i denna bas.
Övning 22.8
Avgör om nedanstående matriser är diagonaliserbara och bestäm i så fall en matris \displaystyle T sådan att \displaystyle T^{-1}AT är en diagonalmatris:
| a) | \displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr} -3&-1&-1\\8&2&1\\-2&0&1\end{array}\right) | b) | \displaystyle A= \left(\begin{array}{rrr} 1&-3&4\\4&-7&8\\6&-7&7\end{array}\right) | c) | \displaystyle A= \left(\begin{array}{rrr} -1&3&-1\\-3&5&-1\\-3&3&1\end{array}\right) |
| d) | \displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr} 1&3&3\\3&1&3\\-3&-3&-5\end{array}\right) | e) | \displaystyle A= \left(\begin{array}{rrr} 3&-4&-4\\-1&3&2\\2&-4&-3\end{array}\right) |
Övning 22.9
Undersök diagonaliserbarheten hos matriserna
| a) | \displaystyle \begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix} | b) | \displaystyle \begin{pmatrix}0&1&1\\-1&0&1\\-1&-1&0\end{pmatrix} |
Övning 22.10
Den symmetriska avbildningen \displaystyle F:{\bf E^3}\rightarrow{\bf E^3} ges i en ON-bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} av matrisen
\left( \begin{array}{rrr} 1& 2& 3\\2 & 2& 2\\ 3& 2& 1\end{array}\right).
Bestäm en ON-bas bestående av egenvektorer till \displaystyle F .
Övning 22.11
Bestäm en ON-bas av egenvektorer till den linjära avbildning som i en viss ON-bas har matrisen
\left( \begin{array}{rrr} 0& 0& 1\\0 & 1& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right).
Övning 22.12
En linjär avbildning \displaystyle F på rummet har i ON-basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}= \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} matrisen
\left( \begin{array}{rrr} 3& 2& 2\\2 & 2& 0\\ 2& 0& a\end{array}\right).
a) Bestäm konstanten \displaystyle a så att \displaystyle \boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2-2\boldsymbol{e}_3 blir en egenvektor till \displaystyle F .
b) Finn för detta \displaystyle a en ON-bas av egenvektorer för rummet.
c) Ge exempel på en högerorienterad ON-bas i b).
Övning 22.13
Bestäm en bas för \displaystyle {\bf R}^3 , som består av egenvektorer till matrisen
\left( \begin{array}{rrr} 1& 2& 1\\2 & 1& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right).
och beräkna koordinaterna för vektorn \displaystyle (0,1,0)^t i denna bas av egenvektorer.
Övning 22.14
Vilken \displaystyle 3\times3 matris har egenvärden 1,3 och 4 hörande till egenvektorerna \displaystyle (1,2,1)^t , \displaystyle (1,0,-1)^t resp. \displaystyle (1,-1,1)^t .
Övning 22.15
Antag att \displaystyle F:{\bf E^2}\rightarrow{\bf E^2} är en linjär avbildning som i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} har avbildningsmatrisen
A_{\boldsymbol{e}}=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{rr}2&-1\\-1&2\end{array}\right).
a) Bestäm en bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} för \displaystyle E^2 bestående av egenvektorer till \displaystyle F .
b) Bestäm bassambandet samt sambandet mellan avbildningsmatriserna \displaystyle A_{\boldsymbol{e}} och \displaystyle A_{\boldsymbol{f}} .
c) Beräkna \displaystyle A_{\boldsymbol{e}}^{5} , \displaystyle A_{\boldsymbol{e}}^{-1} och \displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}A^n_{\boldsymbol{e}} .
Övning 22.16
Bestäm en ortogonal matris \displaystyle T sådan att \displaystyle T^tAT är en diagonalmatris, då
| a) | \displaystyle A=\begin{pmatrix}7&4\\4&13\end{pmatrix} | b) | \displaystyle A=\left( \begin{array}{rrr} -1&0&2\\0&1&-2\\2&-2&0\end{array}\right) |
| c) | \displaystyle A=\left( \begin{array}{rrr} 4&-2&-2\\-2&-5&7\\-2&7&-5\end{array}\right) | d) | \displaystyle A=\left( \begin{array}{rrrr}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\end{array}\right) |
Övning 22.17
En linjär avbildning \displaystyle F på rummet har i en viss ON-bas matrisen
A=\frac{1}{3}\left( \begin{array}{rrr} 1&2&0\\2&0&2\\0&2&-1\end{array}\right)
a) Bestäm en ON-bas för rummet bestående av egenvektorer till \displaystyle F .
b) Bestäm matrisen för avbildningen \displaystyle F^{1789} .
Övning 22.18
Bestäm en matris \displaystyle B sådan att \displaystyle B^2=\left(\begin{array}{rr} 5&4\\4&5 \end{array}\right) .
Övning 22.19
En linjär avbildning \displaystyle F på rummet har i en positivt orienterad ON-bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} matrisen
| a) | \displaystyle A_1=\frac{1}{3}\left( \begin{array}{rrr} 2&-1&-1\\-1&2&-1\\-1&-1&2\end{array}\right) | b) | \displaystyle A_2=\left( \begin{array}{rrr} -3&-2&-1\\2&-1&-1\\2&-2&0\end{array}\right) |
| c) | \displaystyle A_3=\frac{1}{3}\left( \begin{array}{rrr} 2&1&2\\-2&2&1\\-1&-2&2\end{array}\right) | d) | \displaystyle A_4=\frac{1}{6}\left( \begin{array}{rrr} -1&-2&-3\\2&4&6\\1&2&3\end{array}\right) |
Utred så detaljerat som möjligt \displaystyle F:s geometriska betydelse.
Övning 22.20
Ange den symmetriska matrisen för följande kvadratiska former
a) \displaystyle x^2_1+2x_1x_2+x_2^2 i \displaystyle {\bf R}^2 .
b) \displaystyle x^2_1-x_2^2-2x_1x_3-3x_2x_3 i \displaystyle {\bf R}^3 .
c) \displaystyle x^2_1+2x_1x_2+x_2^2 i \displaystyle {\bf R}^3 .
Övning 22.21
Skriv som polynom de kvadratiska former som har matriserna
| a) | \displaystyle \left(\begin{array}{rr} 1&2 \\ 2& 1\end{array}\right) | b) | \displaystyle \left( \begin{array}{rrr} 0& 1& 2\\1&-1&0\\2&0&3\end{array}\right) |
Övning 22.22
Ekvationerna nedan är givna i \displaystyle {\bf R}^3 . Skriv dessa på kanonisk form och ange deras geometriska betydelse.
a) \displaystyle 5x_1^2+5x_2^2+5x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3=1 .
b) \displaystyle 2x_1^2+x_2^2-4x_1x_2-4x_2x_3=1 .
c) \displaystyle -x_1^2-x_2^2-x_3^2+2x_1x_2-2x_1x_3-2x_2x_3=1 .
Övning 22.23
Bestäm största och minsta värde av den kvadratiska formen
Q=x_1^2+\sqrt3x_1x_2+2x_2^2
på enhetscirkeln \displaystyle x_1^2+x_2^2=1 och ange i vilka punkter extremvärdena antas.
Övning 22.24
Låt \displaystyle d vara avståndet från en punkt på kurvan
3x_1^2+4x_1x_2=9
till origo. Rita kurvan i ett väl valt koordinatsystem. Vilka värden kan \displaystyle d anta? I förekommande fall ange de punkter där \displaystyle d antar sitt största respektive minsta värde.
Övning 22.25
Beskriv kurvan
17x_1^2-12x_1x_2+8x_2^2=20.
Ange de punkter på kurvan som ligger närmast respektive längst bort från origo.
Övning 22.26
Visa att andragradskurvan i \displaystyle {\bf R}^2 , definierad av
x_1^2-2x_1x_2+3x_2^2=1
betyder en ellips.
Ange också ellipsens area. Det anses känt att ellipsen \displaystyle \frac{x^2_1}{a^2}+\frac{x^2_2}{b^2}=1 har arean \displaystyle \pi ab .
Ange de punkter på kurvan som ligger närmast respektive längst bort från origo.
Övning 22.27
Låt \displaystyle d vara avståndet från en punkt på ytan
3x_1^2+x_2^2+x_3^2+2\sqrt3x_1x_3=1
till origo. Vilka värden kan \displaystyle d anta? I förekommande fall ange de punkter där \displaystyle d antar sitt största respektive minsta värde.
Övning 22.28
Bestäm största resp. minsta värde som den kvadratiska formen
Q=3x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+4x_1x_3-2x_2x_3
antar på enhetssfären \displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=1 och ange i vilka punkter extremvärdena antas.
Övning 22.29
Bestäm största och minsta värde av den kvadratiska formen
Q=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3-2x_2x_3
på enhetssfären \displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=1 och ange i vilka punkter extremvärdena antas.
Övning 22.30
Betrakta den kvadratiska formen
Q(\boldsymbol{u})=Q(\underline{\boldsymbol{e}}X)=2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2-2x_1x_2-2x_1x_3-2x_2x_3.
a) Uttryck \displaystyle Q i kanonisk bas.
b) Bestäm \displaystyle Q :s nollställen dels i den nya kanoniska basen och dels i den gamla basen.
c) Beskriv ytan
2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2-2x_1x_2-2x_1x_3-2x_2x_3=1
och bestäm ekvationen för ett plan som skär ytan under rät vinkel.
Övning 22.31
Bestäm en gemensam punkt till ytorna
\begin{array}{rcl} 5x_1^2+8x_2^2+5x_3^2-4x_1x_2+8x_1x_3+4x_2x_3&=&9\\
x_1^2+x_2^2+x_3^2&=&1\end{array}
Övning 22.32
Lös systemet \displaystyle \left\{\begin{array}{rcl}y'_1(t)&=&y_1(t)+y_2(t)\\y'_2(t)&=&3y_1(t)-y_2(t)\end{array}\right. \quad\boldsymbol{y}(0)=\left(\begin{array}{r} 1\\0\end{array}\right) .
Övning 22.33
Lös begynnelsevärdesproblemet
\left\{\begin{array}{lclclcl} y'_1(t)&=&2y_1(t)&+&6y_2(t)&&\\ y'_2(t)&=&3y_1(t)&+&6y_3(t)&&\\ y'_3(t)&=&5y_2(t)&+&2y_3(t)&& \end{array} \right.\quad\mbox{där}\quad \boldsymbol{y}(0)=\left(\begin{array}{r}0\\14\\56\end{array}\right).
Övning 22.34
Bestäm alla lösningar till systemet
\left\{\begin{array}{rcrcrcr} y'_1(t)&=&y_1(t)&&&-&2y_3(t)\\
y'_2(t)&=& &-&y_2(t)&-&2y_3(t)\\
y'_3(t)&=&-2y_1(t)&-&2y_2(t)&&\end{array}\right.
Bestäm den speciella lösning som uppfyller \displaystyle y_{1}(0)=5 , \displaystyle y_{2}(0)=1 och \displaystyle y_{3}(0)=1 .
Övning 22.35
Antag att talföljderna \displaystyle a_n , \displaystyle b_n , \displaystyle n=1,2,\dots , uppfyller
\left(\begin{array}{r}{a_n}\\{b_n} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} 2&12\\1&3 \end{array}\right) \left(\begin{array}{r}{a_{n-1}}\\{b_{n-1}} \end{array}\right)\ n=1,2,\dots,
där \displaystyle \left(\begin{array}{r}{a_0}\\{b_0}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}2\\3 \end{array}\right) . Beräkna \displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{6^n} \left(\begin{array}{r}{a_n}\\{b_n} \end{array}\right).
Övning 22.36
Betrakta differensekvationen
a_{n+2}=\frac{1}{2}(a_{n+1}+a_n),\qquad n=0,1,2,\dots,
med begynnelsevillkoren \displaystyle a_0=0 och \displaystyle a_1=1 .
Beräkna \displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}a_n .
