Tips och lösning till U 22.1a

Tips 1

Den fråga du skall ställa dej är "Vilka vektorer är parallella med sin egen avbildning?"

Tips 2

Det bör bli alla vektorer som är parallella med planet eller är normaler till planet.

Tips 3

När vi beskriver samtliga vektorer som uppfyller kriterierna i tips 2 så beskriver vi det sk egenrummet. Normalerna blir ju nollvektorn efter projektionen och får därför egenvärdet noll och vektorer parallella med planet behåller sin längd och riktning efter projektionen så de får egenvärdet 1.

Lösning

Kalla avbildningen \displaystyle P . Då följer av egenskaperna hos \displaystyle P att normalen \displaystyle \boldsymbol{n} till det givna planet avbildas på nollvektor, dvs

Alltså är \displaystyle \lambda_1=0 ett egenegvärde med tillhörande egenvektor \displaystyle \boldsymbol{n}=t(1,1,1)^t och egenrummet är \displaystyle E_{\lambda=0}=[(1,1,1)^t] .

Vidare följer också att om \displaystyle \boldsymbol{v} är en godtycklig vektor parallell med planet så projiceras den på sig själv, dvs \displaystyle P(\boldsymbol{v})=1\cdot \boldsymbol{v} . Eftersom \displaystyle \boldsymbol{v} var godtycklig gäller detta alla vektorer parallella med planet, dvs \displaystyle \lambda_{2,3}=1 är egenvärden med egenrummet \displaystyle E_{\lambda=1}=\{\boldsymbol{x}:\ x_1+x_2+x_3=0\} .