Tips och lösning till U 22.16a

Tips 2

Vi har matrisen \displaystyle A given och skall alltså finna matrisen \displaystyle T och dess invers. Vi börjar med \displaystyle T.

Tips 3

\displaystyle T är ju den matris som reglerar sambandet mellan baserna och i detta fall har vi en avbildningsmatris som är symmetrisk vilket leder till att vi kan finna en ON-bas av egenvektorer. Dessa normerade egenvektorer är då kolonner i \displaystyle T. Därefter gäller det att transformera \displaystyle T och sedan sätta in i sambandet ovan.

Lösning

Efetrsom \displaystyle A är symmetrisk följer av spektralsatsen att \displaystyle A har en ON-bas av egenvektorer. Om vi låter \displaystyle T innehålla i sina kolonner dem normerade egenvektorena till \displaystyle A , så kommer \displaystyle T att vara ortogonal samt \displaystyle T^tAT en diagonalmatris. Vi löser sekularekvationen och får egenvärdena \displaystyle \lambda_1=15 , \displaystyle \lambda_2=5 . Tillhörande egenvektorer får vi om vi löser systemen

De normerade egenvektorerna är \displaystyle \boldsymbol{v}_1=\frac{1}{\sqrt5}(1,2)^t resp. \displaystyle \boldsymbol{v}_2=\frac{1}{\sqrt5}(-2,1)^t .

Vi får att \displaystyle T=\frac{1}{\sqrt5} \left(\begin{array}{rr} 2&1\\{-2}&1 \end{array}\right). Med denna matris \displaystyle T får vi att