Tips och lösning till U 22.15c
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
När vi ska beräkna \displaystyle A_{\boldsymbol{e}}^5 skall vi utnyttja att matrisen \displaystyle T är ortogonal
Tips 2
Att matrisen \displaystyle T är ortogonal innebär att \displaystyle T^tT=TT^t=E vilket leder till att \displaystyle A_{\boldsymbol{e}}^5=TDT^tTDT^tTDT^tTDT^tTDT^t=TD^5T^t. där \displaystyle D^5= \left(\begin{array}{rr}1&0\\0&1/3^5 \end{array}\right), . Vidare så gäller att \displaystyle A_{\boldsymbol{e}}^{-1}=(TDT^t)^{-1}=(T^t)^{-1}D^{-1}T^{-1}=TD^{-1}T^t
Tips 3
Resutaten för \displaystyle A_{\boldsymbol{e}}^5 kan generaliseras så att vi erhåller
A_{\boldsymbol{e}}^n=TD^nT^t= \frac{1}{\sqrt2} \left(\begin{array}{rr} 1&1\\-1&1 \end{array}\right) \left(\begin{array}{rr} {1/3^n}&0\\0&1 \end{array}\right) \frac{1}{\sqrt2} \left(\begin{array}{rr} 1&-1\\1&1 \end{array}\right)
=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}{\frac{1}{2^n}+1}&{\frac{1}{2^n}-1}\\
{\frac{1}{2^n}-1}&{\frac{1}{2^n}+1}\end{array}\right).
Lösning
Eftersom \displaystyle T är ortogonal, dvs \displaystyle T^tT=TT^t=E , så gäller att
A_{\boldsymbol{e}}^5=TDT^tTDT^tTDT^tTDT^tTDT^t=TD^5T^t.\qquad(*)
Eftersom \displaystyle D^5= \left(\begin{array}{rr}1&0\\0&1/3^5 \end{array}\right),
så är
A_{\boldsymbol{e}}^5=TD^5T^t=\frac{1}{\sqrt2} \left(\begin{array}{rr} 1 & 1\\-1&1 \end{array}\right)
\left(\begin{array}{rr}{1/3^5}&0\\0&1 \end{array}\right)\frac{1}{\sqrt2}
\left(\begin{array}{rr} 1&-1\\1&1 \end{array}\right) =\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}{\frac{1}{2^5}+1}&{\frac{1}{2^5}-1}\\ {\frac{1}{2^5}-1}&{\frac{1}{2^5}+1}\end{array}\right).
Lagarna för matrisinvers ger
\begin{array}{rcl} A_{\boldsymbol{e}}^{-1}&=&(TDT^t)^{-1}=(T^t)^{-1}D^{-1}T^{-1}=TD^{-1}T^t\\ &=&\frac{1}{\sqrt2} \left(\begin{array}{rr} 1&1\\-1&1 \end{array}\right) \left(\begin{array}{rr}1&0\\0&3\end{array}\right) \frac{1}{\sqrt2}\left(\begin{array}{rr} 1&-1\\1&1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr} 2&1\\1&2 \end{array}\right). \end{array}
På samma sätt som i (*) gäller att om \displaystyle n är ett heltal
så
A_{\boldsymbol{e}}^n=TD^nT^t= \frac{1}{\sqrt2} \left(\begin{array}{rr} 1&1\\-1&1 \end{array}\right) \left(\begin{array}{rr} {1/3^n}&0\\0&1 \end{array}\right) \frac{1}{\sqrt2} \left(\begin{array}{rr} 1&-1\\1&1 \end{array}\right)
=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}{\frac{1}{2^n}+1}&{\frac{1}{2^n}-1}\\
{\frac{1}{2^n}-1}&{\frac{1}{2^n}+1}\end{array}\right).
Låter vi nu \displaystyle n\rightarrow\infty , dvs \displaystyle n
växa obegränsat, får vi att
A_{\boldsymbol{e}}^n\rightarrow\frac{1}{2} \left(\begin{array}{rr} 1&-1\\-1&1 \end{array}\right).
