Tips och lösning till U 22.16d
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Vi följer samma resonemang som i a-uppgiften.
Tips 2
Vi följer samma resonemang som i a-uppgiften.
Tips 3
Vi följer samma resonemang som i a-uppgiften.
Lösning
Addera alla kolonner till kolonn 1 i sekularekvationen
\left|\begin{array}{rrrr}-\lambda&0&0&1\\0&-\lambda&1&0\\0&1&-\lambda&0\\1&0&0&-\lambda\end{array}\right| = \left|\begin{array}{rrrr}1-\lambda&0&0&1\\1-\lambda&-\lambda&1&0\\
1-\lambda&1&-\lambda&0\\1-\lambda&0&0&-\lambda\end{array}\right|
= (1-\lambda)\left|\begin{array}{rrrr}1&0&0&1\\1&-\lambda&1&0\\
1&1&-\lambda&0\\1&0&0&-\lambda\end{array}\right|
= (1-\lambda)\left|\begin{array}{rrrr}1&0&0&1\\0&-\lambda&1&0\\
0&1&-\lambda&0\\1&0&0&-1-\lambda\end{array}\right|
= (1-\lambda)\left|\begin{array}{rrr}-\lambda&1&0\\
1&-\lambda&0\\0&0&-1-\lambda\end{array}\right|
= (1-\lambda)(-1-\lambda)\left|\begin{array}{rr}-\lambda&1\\1&-\lambda\end{array}\right| = (1-\lambda)(-1-\lambda)(\lambda^2-1).
Egenvärdena är \displaystyle \lambda_1=\lambda_2=1 och \displaystyle \lambda_3=\lambda_4=-1 .
Tillhörande egenvektorer får vi genom att lösa
systemet \displaystyle (A-\lambda E)X=\boldsymbol{0} .
För \displaystyle \lambda_{1,2}=1 får vi systemet
\left(\begin{array}{rrrr} -1&0&0&1\\ 0&-1&1&0\\ 0&1&1&0\\ 1&0&0&1 \end{array}\right|\left. \begin{array}{r}0\\0\\0\\0\end{array}\right) \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rcl} x_1-x_4&=&0\\ x_2-x_3&=&0 \end{array}\right.
Sätter vi \displaystyle x_4=t och \displaystyle x_3=s så får vi att \displaystyle x_1=t .
resp. \displaystyle x_2=s .
Egenvektorerna är därför
\displaystyle (1,0,0,1)^t och \displaystyle (0,1,1,0)^t .
För \displaystyle \lambda_{3,4}=-1 får vi systemet
\left(\begin{array}{rrrr} 1&0&0&1\\ 0&1&1&0\\ 0&1&1&0\\ 1&0&0&1 \end{array}\right|\left. \begin{array}{r}0\\0\\0\\0\end{array}\right) \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rcl} x_1+x_4&=&0\\ x_2+x_3&=&0 \end{array}\right.
Sätter vi \displaystyle x_4=t och \displaystyle x_3=s så får vi att \displaystyle x_1=-t .
resp. \displaystyle x_2=-s .
Egenvektorerna är därför
\displaystyle (-1,0,0,1)^t och \displaystyle (0,-1,1,0)^t .
Vi normerar egenvektorerna och ställer dem som kolonner i \displaystyle T , så får vi att \displaystyle T=\frac{1}{\sqrt2}\left(\begin{array}{rrrr}1&0&0&-1\\0&1&-1&0\\0&1&1&0\\1&0&0&1\end{array}\right) och
T^tAT= \left(\begin{array}{rrrr} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&-1&0\\ 0&0&0&-1 \end{array}\right) =D.
