Tips och lösning till U 22.8c

Tips 1

Vi har ett antal satser som reglerar vad som gäller för diagonalisering. Den viktigaste är spektralsatsen sats 19.6. Diagonalisering innebär att det är möjligt att välja en bas som leder till att den matris som genererar den linjära avbildningen är en diagonalmatris.

Tips 2

Vi följer mönstret från b-uppgiften. I detta fall leder dubbelroten till ett annat resultat än i b-uppgiften.

Tips 3

Dubbelroten ger ett egenrum som är ett plan och i detta plan kan vi välja två icke parallella vektorer som blir basvektorer. Med hjälp av den tredje egenvektorn så har vi en bas av egenvektorer och vi kan diagonalisera.

Lösning

Vi subtraherar rad 2 från rad 3 i sekularekvationen

Egenvärdena är \displaystyle \lambda_1=1 , \displaystyle \lambda_{2,3}=2 . För \displaystyle \lambda_1=1 är tillhörande egenvektorn \displaystyle t(1,1,1)^t .

För \displaystyle \lambda_{2,3}=2 får vi

Tillhörande egenvektorer kan vi välja ur egenrummet \displaystyle E_{\lambda=2}=\{\boldsymbol{x}\in{\bf R}^3:\ 3x_1-3x_2+x_3=0] .

T.ex., kan vi välja \displaystyle t(1,1,0)^t , \displaystyle (1,0,-3)^t .

Därmed kan vi med egenvektorerna i matrisen \displaystyle T=\left(\begin{array}{rrr} 1&1&1\\ 1&1&0\\ 1&0&-3\\ \end{array}\right) , där \displaystyle T^{-1}=\left(\begin{array}{rrr} 3&-3&1\\ -3&4&-1\\ 1&-1&0 \end{array}\right) diagonalisera \displaystyle A , så att