Tips och lösning till U 22.11
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Vi utnyttjar att matrisen är symmetrisk.
Tips 2
Vi vet att det är möjligt att finna en ON-bas av egenvektorer pga att matrisen är symmetrisk. Symmetrin är ngt vi alltid kontrollerar i den här typen av uppgifter.
Tips 3
Sedvanliga beräkningar ger ett egenrum som är ett plan och här finns det alltid möjlighet att finna två vektorer som är ortogonala. Den tredje vektorn är med automatik normal mot det erhållna planet. Normera och du har din ON-bas.
Lösning
Avbildningen \displaystyle F är symmetrisk och då säger spektralsatsen att \displaystyle F har en ON-bas av egenvektorer. Vi löser sekularekvtionen
\det(A-\lambda E)= \left| \begin{array}{rrr}{-\lambda}&0&1\\0&{1-\lambda}&0\\1&0&{-\lambda}\end{array}\right| =(1-\lambda) \left( \begin{array}{rr}{-\lambda}&1\\1&{-\lambda} \end{array}\right) =(1-\lambda)(\lambda^2-1)=0
för \displaystyle \lambda_{1,2}=1 och \displaystyle \lambda_3=-1 .
För \displaystyle \lambda_{1,2}=1 löser vi systemet \displaystyle (A-1\cdot E)=\boldsymbol{0} och får
\left(\begin{array}{rrr}-1&0&1\\0&0&0\\1&0&-1\end{array}\right|\left. \begin{array}{r} 0\\0\\0\end{array}\right) \Leftrightarrow x_1-x_3=0.
Sätt \displaystyle x_3-t och \displaystyle x_2=s . Då är \displaystyle x_1=t .
Tillhörande egenvektorer är \displaystyle \boldsymbol{v}_1=s(0,1,0)^t och \displaystyle \boldsymbol{v}_2=t(1,0,1)^t .
För \displaystyle \lambda_3=-1 får vi systemet
\left(\begin{array}{rrr}1&0&1\\0&2&0\\1&0&1\end{array}\right|\left. \begin{array}{r} 0\\0\\0\end{array}\right) \Leftrightarrow \boldsymbol{v}_3=t(1,0,-1)^t.
En ON-bas blir därmed
\displaystyle (0,1,0)^t , \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,1)^t och \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,-1)^t .
