Tips och lösning till U 22.19a
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Att bara "titta" på denna avbildningsmatris ger inget. Idéen är att välja en annan bas så att vi får en avbildningsmatris som är enklare att tolka.
Tips 2
Vi byter bas till en bas av egenvektorer, vilket är möjligt eftersom avbildningsmatrisen är symmetrisk. Våra egenvärden blir 0,1 och 1 och vi får då en avbildningsmatris som blir.....
Tips 3
Avbildningsmatrisen blir diagonalmatrisen \displaystyle \left(\begin{array}{rrr}
0&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1
\end{array}\right)
. Vi påminner oss nu om att kolonnerna i avbildningsmatrisen är bilderna av basvektorerna. Alltså den första basvektorn avbildas på nollvektorn och de två övriga på sig själva. Dessutom vet vi att vektorerna är inbördes ortogonala (rita en figur!). Slutsatsen blir att den första basvektorna (egenvektorn med egenvärde noll) är normal till ett plan som spänns upp av de båda övriga egenvektorerna och eftersom denna normal avbildas på nollvektorn är detta en ortogonalprojektion i planet som spänns upp av de två övriga egenvektorerna.
Lösning
Vi börjar med att observera att \displaystyle F är
symmetrisk. Då har \displaystyle F en ON-bas av egenvektorer
och därmed är \displaystyle F :s matris \displaystyle A_1 diagonaliserbar.
Löser vi sekularekvationen så får vi egenvärdena
\displaystyle \lambda_1=0 , \displaystyle \lambda_2=\lambda_3=1 .
Eftersom ett egenvärde är 0 så är \displaystyle \det A_1=0 .
Tillhörande egenrum är \displaystyle E_{\lambda=0}=[(1,1,1)^t]
resp.
E_{\lambda=1}=[(1,-1,0)^t,(1,1,-2)^t]=\{\boldsymbol{x}\in{\bf R}^3:\ x_1+x_2+x_3=0.\}.
Därmed följer den geometriska tolkningen att \displaystyle F :s nollrum \displaystyle N(F)
är linjen \displaystyle E_{\lambda=0} och att \displaystyle F :s värderum \displaystyle V(F)
är planet \displaystyle E_{\lambda=1} .
Precis som spektralsatsen säger så är underrummen \displaystyle E_{\lambda=0} och \displaystyle E_{\lambda=1} ortogonala. Egenvektorn (normalen) \displaystyle (1,1,1)^t avbildas på nollvektorn och planet \displaystyle E_{\lambda=1} avbildas på sig självt. Alltså är \displaystyle F en orogonal projektion på planet \displaystyle x_1+x_2+x_3=0 .
Den geometriska tolkningen av \displaystyle F följer också av att matrisen \displaystyle A_1 är diagonaliserbar
A_1=TD_1T^{t}= \frac{1}{\sqrt6} \left(\begin{array}{rrr} \sqrt2&\sqrt3&1\\ \sqrt2&-\sqrt3&1\\ \sqrt2&0&-2 \end{array}\right) \left(\begin{array}{rrr} 0&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array}\right) \frac{1}{\sqrt6} \left(\begin{array}{rrr} \sqrt2&\sqrt2&\sqrt2\\ \sqrt3&-\sqrt3&0\\ 1&1&-2 \end{array}\right)
där vi har normerat egenvektorerna.
Ett basbyte till en ny bas av egenvektorer visar att matrisen i den nya
basen är \displaystyle D_1 . Ur \displaystyle D_1 kan vi utläsa att \displaystyle F är en ortogonal
projektion i planet som
spänns upp av \displaystyle (1,-1,0)^t och \displaystyle (1,1,-2)^t
parallellt med normalen \displaystyle (1,1,1)^t .
