Tips och lösning till U 22.10
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Här utnyttjar vi Spektralsatsen.
Tips 2
Vi har en symmetrisk matris och då följer med automatik att det finns en ON-bas av egenvektorer.
Tips 3
Sedvanliga beräkningar av egenvärden och egenvektorer ger tre egenvektorer som är ortogonala. Att de är ortogonala ska du naturligtvis kontrollera (så du inte har räknat fel). Avsluta med att normera dina vektorer.
Lösning
Eftersom \displaystyle F är symmetrisk så följer av spektralsatsen att \displaystyle F har en ON-bas av egenvektorer.
Utnyttja symmetrin i sekularekvationen
\det(A-\lambda E)= \left| \begin{array}{rrr}{1-\lambda}&2&3\\2&{2-\lambda}&2\\3&2&{1-\lambda}\end{array}\right| =\{\mbox{k3}-\mbox{k1}\} =\left| \begin{array}{rrr}{1-\lambda}&2&{2+\lambda}\\2&{2-\lambda}&0\\3&2&{-2-\lambda}.\end{array}\right|
Vi adderar rad 1 till rad 3 får vi
\left| \begin{array}{rrr}{1-\lambda}&2&{2+\lambda}\\2&{2-\lambda}&0\\{4-\lambda}&4&0 \end{array}\right| =(-1)^{1+2}(2+\lambda)[8-(2-\lambda)(4-\lambda)] =-(2+\lambda)\lambda(6-\lambda)=0
för \displaystyle \lambda=-2,0,6 .
Egenvektorerna \displaystyle \boldsymbol{v}_k , \displaystyle k=1,2,3 får vi genom att
lösa det homogena ekvationssystemet
(A-\lambda_k E)X=\boldsymbol{0}.
För \displaystyle \lambda_1=-2 får vi tillhörande egenvektorn
\displaystyle \boldsymbol{v}_1=t(1,0,-1)^t , för \displaystyle \lambda_1=0 får vi
\displaystyle \boldsymbol{v}_2=t(1,-2,1)^t ,
och för \displaystyle \lambda_1=6 är \displaystyle \boldsymbol{v}_3=t(1,1,1)^t .
Eftersom egenvektorerna är ortogonala behöver vi bara normera dem.
Vi får därmed ON-basen \displaystyle \frac{1} {\sqrt{2}}(1,0,-1)^t , \displaystyle \frac{1}{\sqrt{6}}(1,-2,1)^t och \displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)^t .
