Tips och lösning till U 22.1d

Tips 1

Stääl dej frågan"Vilka vektorer är parallella med sig själva efter avbildningen?" Rita figur!

Tips 2

Liksom i föregående uppgift så kommer vektorer parallella med rotationsaxeln att behålla sin storlek och riktning. Vidare kommer de vektorer som ligger i det plan som har \displaystyle (1,1,1)^t som normal efter vridning ett halvt varv att bli motsatt riktade sitt ursprung.

Tips 3

Resultatet blir att vektorer parallella med rotationsaxeln, dvs vektorerna \displaystyle t(1,1,1)^t kommer att ha egenvärde 1 och vektorer parallella med planet \displaystyle x_1+x_2+x_3=0 kommer att ha egenvärde -1.

Lösning

En rotation \displaystyle R vinkeln \displaystyle \pi kring \displaystyle (1,1,1)^t behåller riktning och storlek för vektorer parallella med \displaystyle (1,1,1)^t . Detta betyder att \displaystyle R har ett egenvärde \displaystyle \lambda_1=1 med tillhörande egenvektor \displaystyle t(1,1,1)^t och egenrummet är \displaystyle E=[(1,1,1)^t ]. Vidare kommer alla vektorer parallella med planet \displaystyle x_1+x_2+x_3=0 med \displaystyle (1,1,1)^t som normal att roteras på motsatt håll. Alltså är \displaystyle \lambda_{2,3}=-1 är egenvärden med egenrummet \displaystyle E_{\lambda=1}=\{\boldsymbol{x}:\ x_1+x_2+x_3=0\} .