Tips och lösning till U 22.5
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Du följer samma mönster som i uppgift 22.4
Tips 2
Du följer samma mönster som i uppgift 22.4, men vi kan konstatera att du kan välja olika riktningar på dina egenvektorer eftersom ett av egenrummen är ett plan.
Tips 3
Du måste avslutningsvis kontrollera att egenvektorerna som du valt som bas är linjärt beroende. Du kan också kontrollera att de är egenvektorer genom att utföra den matrismultiplikation som du gjorde i uppgift 22.2b
Lösning
Vi löser sekularekvationen
0=\det(A-\lambda E)= \left|\begin{array}{rrr}{-1-\lambda}&2&2\\0&{1-\lambda}&2\\0&0&{-1-\lambda}\end{array}\right| =(-1-\lambda)^2(1-\lambda).
Egenvärdena är därmed \displaystyle \lambda_1=1 , \displaystyle \lambda_{2,3}=-1 .
För \displaystyle \lambda_1=0 får vi
\left(\begin{array}{rrr}{-2}&2&2\\0&0&2\\0&0&{-2}\end{array}\right|\left. \begin{array}{r}{-2}0\\0\\0\end{array}\right) \Leftrightarrow x_1=x_2=t,x_3=0.
Alltså är \displaystyle \boldsymbol{v}_1=t\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{r}1\\1\\0\end{array}\right)
och \displaystyle E_{\lambda_1}=[(1,1,0)^t] .
För \displaystyle \lambda_{2,3}=0 får vi
\left(\begin{array}{rrr}{0}&2&2\\0&2&2\\0&0&{0}\end{array}\right|\left. \begin{array}{r}0\\0\\0\end{array}\right) \Leftrightarrow x_2+x_3=0 \Leftrightarrow x_2=-x_3=t.
Eftersom ekvationen \displaystyle x_2+x_3=0 är uppfylld oberoende av värdet på \displaystyle x_1 så kan vi sätta \displaystyle x_1=s . Detta ger att varje tillhörande egenvektor ges av \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{r}\\t\\-t\end{array}\right) =s\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{r} 1\\0\\0\end{array}\right) +t\underline{\boldsymbol{e}} \left(\begin{array}{r}0\\1\\-1\end{array}\right) .
Vi kan t.ex., välja \displaystyle
\boldsymbol{v}_2=s\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{r}1\\0\\0\end{array}\right) och
\displaystyle \boldsymbol{v}_3= t\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{r}0\\1\\-1\end{array}\right) .
Eftersom \displaystyle \left(\begin{array}{rrr} 1&1&0\\1&0&1\\1&0&-1\end{array}\right)=-2\neq0 ,
så är egenvektorerna linjärt oberoende och därmed en bas
för \displaystyle {\bf R}^3 .
