Tips och lösning till U 22.30b
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Sätt upp den ekvation som gör att Q blir noll och sök lösningar till densamma.
Tips 2
Vi skall alltså lösa ekvationen
Q=0\Leftrightarrow 3y_2^2+3y_3^2=0
Vi ser att en variabel (\displaystyle y_1) inte finns med och den kan då väljas godtyckligt. Vi får då lösningen \displaystyle y_2=y_3=0 och \displaystyle y_1=t är godtycklig.
Tips 3
Det återstår nu att återföra detta resultat till den ursprungliga basen:
\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{f}}Y=(\boldsymbol{f}_1\ \boldsymbol{f}_2\ \boldsymbol{f}_3) \left(\begin{array}{r}y_1\\y_2\\y_3\end{array}\right)= (\boldsymbol{f}_1\ \boldsymbol{f}_2\ \boldsymbol{f}_3)\left(\begin{array}{r}t\\0\\0\end{array}\right)=t\boldsymbol{f}_1.
Lösning
Nollställena för \displaystyle Q i den nya basen ges av
Q=0\Leftrightarrow 3y_2^2+3y_3^2=0
för \displaystyle y_2=y_3=0 och \displaystyle y_1=t är godtycklig. I den nya basen ges alltså nollställen \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{f}}Y till \displaystyle Q av
\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{f}}Y=(\boldsymbol{f}_1\ \boldsymbol{f}_2\ \boldsymbol{f}_3) \left(\begin{array}{r}y_1\\y_2\\y_3\end{array}\right)= (\boldsymbol{f}_1\ \boldsymbol{f}_2\ \boldsymbol{f}_3)\left(\begin{array}{r}t\\0\\0\end{array}\right)=t\boldsymbol{f}_1.
Eftersom \displaystyle \boldsymbol{f}_1=\frac{1}{\sqrt3}(\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3) så ges nollställena i den gamla basen av
\boldsymbol{u}=t \frac{1}{\sqrt3}(\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3).
