Tips och lösning till U 22.1b

Tips 1

Den fråga du skall ställa dej är "Vilka vektorer är parallella med sin egen avbildning?"

Tips 2

I detta fall kommer varje normal till planet att få motsatt riktning efter spegling och vektorer parallella med planet speglas på sig själva. Rita gärna en figur så ser du detta.

Tips 3

Eftersom normalerna behåller storlek efter spegling, men får motsatt riktning kommer egenvärdet att bli -1 och vektorer parallella med planet behåller riktning och storlek och får därför egenvärde 1.

Lösning

Om \displaystyle S är en spegling i ett plan så gäller att

där \displaystyle \boldsymbol{n} är normalen till planet. Därmed är \displaystyle \lambda_1=-1 ett egenvärde med tillhörande egenvektor \displaystyle \boldsymbol{n}=t(1,1,1)^t .

Eftersom vektorer parallella med planet speglas i sig själva, så är \displaystyle \lambda_{2,3}=1 egenvärde med egenrummet \displaystyle E_{\lambda=1}=\{\boldsymbol{x}:\ x_1+x_2+x_3=0\} .