Tips och lösning till U 22.3b

Tips 1

Vi ska nu bestämma de egenvärden som hör till respektive egenvärde.

Tips 2

Vi löser nu sekularekvationen för de i a erhållna egenvärdena \displaystyle (A-\lambda_k E)X_k=\boldsymbol{0} för k=1,2,3

Tips 3

I de olika fallen får vi en parameterlösning och det innebär att vi får en egenvektor med en godtycklig längd. Observera att du alltid får en egenvektor som har godtycklig längd, dvs egenvektorn gånger en godtycklig konstant! Egenrummet är sedan samtliga egenvektorer som har ett specifikt egenvärde. Rummet har i detta fall dimensionen 1.

Lösning

Enligt a) så är egenvärdena \displaystyle \lambda_1=1 , \displaystyle \lambda_{2,3}=3 .

Tillhörande egenvektorer \displaystyle \boldsymbol{v}_k , \displaystyle k=1,2,3, får vi om vi löser systemen \displaystyle F(\boldsymbol{v}_k)=\lambda_k \boldsymbol{v}_k=\underline{\boldsymbol{e}}X_k , \displaystyle k=1,2,3, .

För \displaystyle \lambda_1=1 får vi

               \underline{\boldsymbol{e}}AX_1=\underline{\boldsymbol{e}}\lambda_1 X \\
               &\Leftrightarrow & (A-\lambda_1 E)X_1=\boldsymbol{0}\Leftrightarrow (A-1\cdot E)X_1=\boldsymbol{0}\\
              &\Leftrightarrow &

Rad 2 ger att \displaystyle x_2=0 som insatt i rad 1 ger att även \displaystyle x_1=0 . Rad 3 visar att \displaystyle x_3 kan anta alla värden, dvs vi sätter \displaystyle x_3=t och får att \displaystyle X_1=t \left(\begin{array}{r}0\\0\\1\end{array}\right) , dvs \displaystyle \boldsymbol{v}_1=t\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{r}0\\0\\1\end{array}\right) .

För \displaystyle \lambda_{2,3}=3 får vi systemet \displaystyle \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrr}0&1&0\\0&0&0\\0&0& -2 \end{array}\right|\left. \begin{array}{r} 0\\0\\0\end{array}\right) som har lösningen \displaystyle x_2=0 , \displaystyle x_3=0 och \displaystyle x_1=t , dvs \displaystyle X_{2,3}=t \left(\begin{array}{r}1\\0\\0\end{array}\right) , dvs \displaystyle \boldsymbol{v}_{2,3}=t\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{r}1\\0\\0\end{array}\right) .

Observera att till egenvärdena \displaystyle \lambda_{2}=\lambda_{3}=3 finns endast en egenvektor. Alltså är \displaystyle \lambda_1=1 med \displaystyle E_{\lambda_1}=[(0,0,1)^t] och \displaystyle \lambda_{2,3}=3 med \displaystyle E_{\lambda_{2,3}}=[(1,0,0)^t] .