Tips och lösning till U 22.12b
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Bestäm med a=4 egenvärden och egenvektorer för matrisen.
Tips 2
Vi kan i detta fall å två vägar. Antingen tar vi fram egenvärden och egenvektorer som vi brukar göra via sekularekvationen eller utnyttjar att vi redan har en egenvektorer och vet via spektralsatsen att vi kan finna en ON-bas av egenvektorer.
Tips 3
Om vi tar det andra alternativet så börjar vi med att med hjälp av skalärprodukt (vi förutsätter att vi har ett Euklidiskt rum eftersom vi är i det man ibland kallar rummet) finna en vektor ortogonal mot den givna. Vektorprodukt ger oss slutligen den tredje egenvektorn. Med hjälp av definition på egenvektor så kan vi om vi så önskar kontrollera resultatet. Avsluta med att normera.
Lösning
Vi bestämmer för \displaystyle a=4 dem övriga egenvärdena till \displaystyle F .
Vi väljer här att inte lösa sekularekvationen som vi alltid har gjort
utan utnyttjar att vi redan känner till en egenvektor.
Spektralsatsen säger att egenvektorerna till en symmetrisk avbildning
är ortogonala.
Låt t.ex., \displaystyle \boldsymbol{v}_2=t(2,1,2)^t . Då är \displaystyle (\boldsymbol{v}_1|\boldsymbol{v}_2)=0 .
Vidare är
F(\boldsymbol{v}_2)=\lambda_2 \boldsymbol{v}_2 \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrr}3&2&2\\2&2&0\\2&0&4\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}2\\1\\2\end{array}\right) =\lambda_2 \left(\begin{array}{r}2\\1\\2\end{array}\right) \Leftrightarrow \left(\begin{array}{r}12\\6\\12\end{array}\right) =\left(\begin{array}{r}2\lambda_2\\\lambda_2\\2\lambda_2\end{array}\right).
Alltså är \displaystyle \lambda_2=6 .
Till sist låter vi
som är ortogonal mot både \displaystyle \boldsymbol{v}_1 och \displaystyle \boldsymbol{v}_2 .
