Tips och lösning till U 22.2a
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Observera att du bara skall kontrollera om vektorn r en egenvektor med det angivna egenvärdet!
Tips 2
Det betyder att vi inte skall lösa sekularekvationen utan bara kontrollera att \displaystyle AX=\lambda X.
Tips 3
Dvs du skall beräkna \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} \left( \begin{array}{rrr} 1& -1& -1 \\ -2& 0& 1 \\ 2& 2& 1 \end{array}\right) \left(\begin{array}{r} 1 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right)
Lösning
Talet \displaystyle \lambda kallas ett egenvärde med tillhörande egenvektor \displaystyle \boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}X om
F(\boldsymbol{v})=\lambda\boldsymbol{v}\Leftrightarrow
F(\underline{\boldsymbol{e}}X)=\lambda\underline{\boldsymbol{e}}X\Leftrightarrow\underline{\boldsymbol{e}}AX=\underline{\boldsymbol{e}}\lambda X\Leftrightarrow AX=\lambda X.
Eftersom
F(\boldsymbol{v}_1)=F\left(\underline{\boldsymbol{e}} \left(\begin{array}{r} 1 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right)\right)= \underline{\boldsymbol{e}} \left( \begin{array}{rrr} 1& -1& -1 \\ -2& 0& 1 \\ 2& 2& 1 \end{array}\right) \left(\begin{array}{r} 1 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right) =1\cdot\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{r} 1 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right),
så är \displaystyle \lambda_1=1 ett egenvärde med tillhörande egenvektor \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}(1,-1,1)^t till \displaystyle F .
