Tips och lösning till U 22.8b
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Vi har ett antal satser som reglerar vad som gäller för diagonalisering. Den viktigaste är spektralsatsen sats 19.6. Diagonalisering innebär att det är möjligt att välja en bas som leder till att den matris som genererar den linjära avbildningen är en diagonalmatris.
Tips 2
Vi har ingen garanti att det går att diagonalisera, men vi försöker genom att försöka finna en bas av egenvektorer sats 18.8.
Tips 3
I detta fall får vi bara fram två egenvektorer som kan fungera som bas. Eftersom det krävs en tredje egenvektor som ingår i basen så går det inte att diagonalisera.
Lösning
Vi adderar (-2) gånger rad 1 till rad 2 i sekularekvationen
0=\left|\begin{array}{ccc}{1-\lambda}&{-3}&{4}\\{4}&{-7-\lambda}&{8}\\{6}&{-7}&{7-\lambda}\end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc}{1-\lambda}&{-3}&{4}\\{2+2\lambda}&{-1-\lambda}&{0}\\{6}&{-7}&{7-\lambda}\end{array}\right|
= \{\mbox{2 gånger kolonn1 adderas till kolonn 1}\} = \left|\begin{array}{ccc}{1-\lambda}&{-5-\lambda}&{4}\\{2+2\lambda}&{0}&{0}\\{6}&{-8}&{7-\lambda}\end{array}\right|
=-(2+2\lambda)[(-5-\lambda)(7-\lambda)+32] =-2(1+\lambda)^2(\lambda-3)
Egenvärdena är \displaystyle \lambda_1=3 , \displaystyle \lambda_{2,3}=-1 .
Vi får tillhörande egenvektorer då vi löser \displaystyle (A-\lambda E)X=\boldsymbol{0} .
För \displaystyle \lambda_1=3 får vi egenvektorn \displaystyle t(1,2,2)^t .
För \displaystyle \lambda_{2,3}=-1 får vi
\left(\begin{array}{ccc|r} 2&-3&4\\ 4&-6&8\\ 6&-7&8 \end{array}\right|\left. \begin{array}{r}0\\0\\0 \end{array}\right) \Leftrightarrow \left(\begin{array}{ccc} 2&-3&4\\ 0&0&0\\ 0&2&-4 \end{array}\right|\left. \begin{array}{r}0\\0\\0 \end{array}\right) \Leftrightarrow x_2-2x_2=0.
Sätt \displaystyle x_3=t , så får vi \displaystyle x_2=2t och \displaystyle x_1=t .
Tillhörande egenvektor är därmed \displaystyle t(1,2,1)^t .
Den geometriska multipliciteten är mindre än den algebraiska och
därmed kan vi inte hitta en matris \displaystyle T så att vi kan diagonalisera \displaystyle A ,
så att \displaystyle A=TDT^{-1} .
