Tips och lösning till U 22.30a

Tips 1

Vi börjar med att skriva om den kvadratiska formen i matrisform.

Tips 2

Den symmetriska matrisen kan diagonaliseras i en ON-bas av egenvektorer enl Spektralsatsen.

Tips 3

Detta leder till att Q kan skrivas om i formen \displaystyle

Q=2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2-2x_1x_2-2x_1x_3-2x_2x_3=3y_2^2+3y_3^2.

Q är alltså en cylinder med en cirkel som tvärsnitt. Rita gärna en figur.

Lösning

Den kvadratiska formen kan skrivas på matrisform enligt

\displaystyle

Q=2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2-2x_1x_2-2x_1x_3-2x_2x_3 =(x_1\ x_2\ x_3) \left(\begin{array}{rrr}2&-1&-1\\-1&2&-1\\-1&-1&2\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}x_1\\x_2\\ x_3\end{array}\right)=X^tAX.

Eftersom \displaystyle A är symmetrisk så följer av spektralsatsen att \displaystyle A är diagonaliserbar, dvs \displaystyle A=TDT^t. Egenvärdena till \displaystyle A är \displaystyle \lambda_1=0 och \displaystyle \lambda_2=\lambda_3=3.

Tillhörande ON-bas av egenvektorer \displaystyle \boldsymbol{f}_1=\frac{1}{\sqrt3}\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{r}1\\1\\ 1\end{array}\right), \displaystyle \boldsymbol{f}_2=\frac{1}{\sqrt6}\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{r}1\\-2\\ 1\end{array}\right), och \displaystyle \boldsymbol{f}_3=\frac{1}{\sqrt2}\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{r} 1\\0\\ -1\end{array}\right).

I kanonisk bas, dvs i ON-bas av egenvektorer och med nya koordinater \displaystyle Y, där \displaystyle X=TY kan vi skriva

\displaystyle

Q=2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2-2x_1x_2-2x_1x_3-2x_2x_3=3y_2^2+3y_3^2.

Alltså är \displaystyle Q=3y_2^2+3y_3^2.