Tips och lösning till U 22.4

Tips 1

En bas skall i detta fall innehålla tre stycken linjärt oberoende vektorer. Dessa skall dessutom vara egenvektorer.

Tips 2

Vi följer lösningsgången:

1. Sök egenvärden ur sekularekvationen 0=det(A−E)=9−−3−3−48−−4−5−57−

2. Sök de egenvektorer som svara mot de erhållna egenvärdena ur ekvationssystemet (A−kE)Xk=0 för k=1,2,3

3. Nu har du tre st egenvektorer som du kontrollerar att de är linjärt oberoende.

Tips 3

Hej 3

Lösning

Vi löser sekularekvationen

0=det(A−E)=9−−3−3−48−−4−5−57−=rad 1 - rad 3=9−−3−12+−48−0−5−512−

Adderar vi nu kol. 3 och kol. 1 så får vi

0=det(A−E)=4−−80−48−0−5−512−=(12−)4−−8−48−=(12−)(−12)

Egenvärdena är alltså 1=0, 23=12.

För 1=0 får vi

9−3−3−48−4−5−570000000−30208−12−20−512000x1=x2=x3=t

Alltså är 1=t111, dvs E1=[(111)t].

För 23=12 får vi

−3−3−3−4−4−4−5−5−50000003x1+4x2+5x3=0

Alltså är E23=[R3: 3x1+4x2+5x3=0].

Här kan vi välja två linjärt oberoende vektorer, t.ex., 3=t50−3 resp. 3=t4−30, så att egenrummet kan skrivas E23=[(50−3)t(4−30)t]. Vi undersöker nu om egenvektorerna bildar en bas för \displaystyle {\bf R}^3 .

Eftersom \displaystyle \left|\begin{array}{rrr} 1&5&4\\1&0&-3\\1&-3&0\end{array}\right|=36\neq0 , så är egenvektorerna linjärt oberoende och därmed en bas för \displaystyle {\bf R}^3 .