Tips och lösning till U 22.4
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
En bas skall i detta fall innehålla tre stycken linjärt oberoende vektorer. Dessa skall dessutom vara egenvektorer.
Tips 2
Vi följer lösningsgången:
1. Sök egenvärden ur sekularekvationen \displaystyle 0=\det(A-\lambda E)= \left|\begin{array}{ccc} 9-\lambda& -4& -5\\ -3& 8-\lambda& -5\\ -3& -4& 7-\lambda\end{array}\right|.
2. Sök de egenvektorer som svara mot de erhållna egenvärdena ur ekvationssystemet \displaystyle (A-\lambda_k E)X_k=\boldsymbol{0} för k=1,2,3
3. Nu har du tre st egenvektorer som du kontrollerar att de är linjärt oberoende.
Tips 3
Hej 3
Lösning
Vi löser sekularekvationen
0=\det(A-\lambda E)= \left|\begin{array}{ccc} 9-\lambda& -4& -5\\ -3& 8-\lambda& -5\\ -3& -4& 7-\lambda\end{array}\right|. =\{\mbox{rad 1 - rad 3}\}= \left|\begin{array}{ccc} 9-\lambda& -4& -5\\ -3& 8-\lambda& -5\\ -12+\lambda& 0& 12-\lambda\end{array}\right|.
Adderar vi nu kol. 3 och kol. 1 så får vi
0=\det(A-\lambda E)= \left|\begin{array}{ccc}{4-\lambda}&{-4}&{-5}\\{-8}&{8-\lambda}&{-5}\\{0}&{0}&{12-\lambda}\end{array}\right| =(12-\lambda)\left|\begin{array}{cc} {4-\lambda}&{-4}\\{-8}&{8-\lambda}\end{array}\right| =(12-\lambda)\lambda(\lambda-12).
Egenvärdena är alltså \displaystyle \lambda_1=0 , \displaystyle \lambda_{2,3}=12 .
För \displaystyle \lambda_1=0 får vi
\left(\begin{array}{rrr}9&{-4}&{-5}&0\\{-3}&8&{-5}&0\\{-3}&{-4}&7&0\end{array}\right|\left. \begin{array}{r}0\\0\\0\end{array}\right) \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrr}0&{20}&{-20}\\{-3}&8&{-5}\\{0}&{-12}&{12}\end{array}\right|\left. \begin{array}{r}0\\0\\0\end{array}\right) \Leftrightarrow x_1=x_2=x_3=t.
Alltså är \displaystyle \boldsymbol{v}_1=t\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{r}1\\1\\1\end{array}\right) , dvs \displaystyle E_{\lambda_1}=[(1,1,1)^t] .
För \displaystyle \lambda_{2,3}=12 får vi
\left(\begin{array}{rrr}{-3}&{-4}&{-5}&0\\{-3}&{-4}&{-5}&0\\{-3}&{-4}&{-5}&0\end{array}\right|\left. \begin{array}{r}0\\0\\0\end{array}\right) \Leftrightarrow 3x_1+4x_2+5x_3=0.
Alltså är \displaystyle E_{\lambda_{2,3}}=[\boldsymbol{x}\in{\bf R}^3:\
3x_1+4x_2+5x_3=0] .
Här kan vi välja två linjärt oberoende vektorer, t.ex., \displaystyle \boldsymbol{v}_3=t\underline{\boldsymbol{e}} \left(\begin{array}{r} 5\\0\\-3\end{array}\right) resp. \displaystyle \boldsymbol{v}_3=t\underline{\boldsymbol{e}} \left(\begin{array}{r} 4\\-3\\0\end{array}\right) , så att egenrummet kan skrivas \displaystyle E_{\lambda_{2,3}}=[(5,0,-3)^t,(4,-3,0)^t] . Vi undersöker nu om egenvektorerna bildar en bas för \displaystyle {\bf R}^3 .
Eftersom \displaystyle \left|\begin{array}{rrr} 1&5&4\\1&0&-3\\1&-3&0\end{array}\right|=36\neq0 , så är egenvektorerna linjärt oberoende och därmed en bas för \displaystyle {\bf R}^3 .
