Tips och lösning till U 22.19d

Tips 1

Matrisen är inte symmetrisk, inte ortogonal, men dess determinant är noll

Tips 2

För att komma vidare tar vi fram egenvärden och egenvektorer. Egenvärdena är 1,0 och 0.

Tips 3

I detta fall har vi alltså ett nollrum som har dimensionen två och ett värderum som har dimensionen ett. Determinanten är noll vilket leder oss till projektion dock ej ortogonal. Projektionen sker alltså på värderummet som svara mot den linje som har samma riktning som den egenvektor med egenvärde ett (anm 16.66 kan vara vägledande och även en figur).

Lösning

\displaystyle F har egenvärdena \displaystyle \lambda_1=1 , \displaystyle \lambda_2=\lambda_3=0 . Tillhörande egenrum \displaystyle E_{\lambda=1}=[(-1,2,1)^t] ,

\displaystyle E_{\lambda=0}=[(2,-1,0)^t,(3,0,-1)^t] =\{\boldsymbol{x}\in{\bf R}^3:\ x_1+2x_2+3x_3=0\} .

Avbildningen \displaystyle F är en projektion dock ej ortogonal projektion då \displaystyle F ej är symmetrisk.

Vidare är \displaystyle \det A_4=0 samt \displaystyle \dim N(F)=2 där \displaystyle N(F)=[(2,-1,0)^t,(3,0,1)^t] och \displaystyle \dim V(F)=[(-1,2,1)^t] .

Avbildningen \displaystyle F är en sned projektion på linjen \displaystyle t(-1,2,1)^t parallellt med \displaystyle E_{\lambda=0} .