Tips och lösning till U 22.8a
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Vi har ett antal satser som reglerar vad som gäller för diagonalisering. Den viktigaste är spektralsatsen sats 19.6. Diagonalisering innebär att det är möjligt att välja en bas som leder till att den matris som genererar den linjära avbildningen är en diagonalmatris.
Tips 2
I detta fall har kan vi inte använda spektralsatsen eftersom vår matris inte är symmetrisk. Trots detta kan matrisen vara diagonaliserbar enl sats 18.8. Vi tar därför fram egenvektorerna och ser om de kan bilda bas.
Tips 3
I detta fall får vi fram tre st linjärt oberoende egenvektorer som kan bilda bas. Enl sats 18.15 pkt 2 kan vi alltså diagonalisera. Satsen säger dessutom hur du får fram diagonalmatrisen D. \displaystyle T^{-1}AT=D.
Lösning
Vi observerar först att matrisen \displaystyle A inte är symmetrisk, så
spektralsatsen kan inte garantera att \displaystyle A är diagonaliserbar.
Vi utvecklar längs rad 3 i sekularekvationen och får
\left|\begin{array}{ccc}{-3-\lambda}&{-1}&{-1}\\{8}&{2-\lambda}&{1}\\{-2}&{0}&{1-\lambda}\end{array}\right| =\lambda(1-\lambda)(1+\lambda)=0
för \displaystyle \lambda_1=1 , \displaystyle \lambda_2=0 och \displaystyle \lambda_3=-1 .
Tillhörande egenvektorer är \displaystyle \boldsymbol{v}_1=t(0,-1,1)^t ,
\displaystyle \boldsymbol{v}_2=(-1,5,-2)^t resp. \displaystyle \boldsymbol{v}_3=t(1,-3,1)^t .
Låt \displaystyle T innehålla i sina kolonner egenvektorerna. Då är
T=\left(\begin{array}{rrr}0&{-1}&1\\{-1}&5&{-3}\\1&{-2}&1 \end{array}\right),\ \ \ T^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1&1&2\\2&1&1\\3&1&1 \end{array}\right),
och
T^{-1}AT=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&0&0\\0&0&{-1}\end{array}\right)=D.
