Tips och lösning till U 22.16c
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Vi följer samma resonemang som i a-uppgiften.
Tips 2
Vi följer samma resonemang som i a-uppgiften.
Tips 3
Vi följer samma resonemang som i a-uppgiften.
Lösning
Vi börjar med att i sekularekvationen subtrahera rad 2 från rad 3 och addera kolonn 3 till kolonn 2:
\left(\begin{array}{ccc} {4-\lambda}&{-2}&-2\\{-2}&{-5-\lambda}&{7}\\{-2}&7&{-5-\lambda} \end{array}\right) =\left(\begin{array}{ccc} {4-\lambda}&{-2}&{-2}\\ {-2}&{-5-\lambda}&{7}\\{0}&{12+\lambda}&{-12-\lambda} \end{array}\right) =\left(\begin{array}{ccc} {4-\lambda}&{-4}&{-2}\\{-2}&{2-\lambda}&{7}\\{0}&{0}&{-12-\lambda} \end{array}\right)
=(-12-\lambda) \left(\begin{array}{cc}{4-\lambda}&{-4}\\{-2}&{2-\lambda} \end{array}\right) =\lambda(-12-\lambda)(\lambda-6).
Egenvärdena med tillhörande ON-bas av egenvektorer är
\displaystyle \lambda_1=6 , \displaystyle \lambda_2=0 , \displaystyle \lambda_3=-12
och \displaystyle \boldsymbol{v}_1=\frac{1}{\sqrt6}(-2,1,1)^t ,
\displaystyle \boldsymbol{v}_2=\frac{1}{\sqrt2}(1,1,1)^t
resp. \displaystyle \boldsymbol{v}_3=\frac{1}{\sqrt2}(0,1,-1)^t .
Sökt matris är
\displaystyle T=\frac{1}{\sqrt6}\left(\begin{array}{rrr}{-2}&{\sqrt2}&0\\1&{\sqrt2}&{\sqrt3}\\1&{\sqrt2}&{-\sqrt3} \end{array}\right)
och därmed är
T^tAT=\left(\begin{array}{rrr}6&0&0\\0&0&0\\0&0&{-12} \end{array}\right) =D.
