Tips och lösning till U 22.12a
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Vi skall alltså se till att \displaystyle F(\boldsymbol{v}_1)=\lambda_1 \boldsymbol{v}_1 \ där \displaystyle \boldsymbol{v}_1 är den givna vektorn med tillhörande egenvärde \displaystyle \lambda_1 .
Tips 2
Vi får då ekvationssystemet \displaystyle \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrr}3&2&2\\2&2&0\\2&0&a\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}1\\2\\-2\end{array}\right) =\lambda_1 \left(\begin{array}{r}1\\2\\-2\end{array}\right)
Tips 3
Det överbestämda ekvationssystemet har då lösningen \displaystyle \left(\begin{array}{c}3\\6\\2-2a\end{array}\right) =\left(\begin{array}{c}\lambda_1\\2\lambda_1\\-2\lambda_1\end{array}\right) \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{ccl}\lambda_1&=&3\\a&=&4\end{array}\right.
Lösning
Vektorn \displaystyle \boldsymbol{v}_1=\underline{\boldsymbol{e}}(1,2,-2)^t är en egenvektor till \displaystyle F om det finns ett tillhörande egenvärde \displaystyle \lambda_1 så att
F(\boldsymbol{v}_1)=\lambda_1 \boldsymbol{v}_1 \ \Leftrightarrow\ F(\underline{\boldsymbol{e}}(1,2,-2)^t)=\lambda_1 \underline{\boldsymbol{e}}(1,2,-2)^t,
dvs
\underline{\boldsymbol{e}}A (1,2,-2)^t = \underline{\boldsymbol{e}}\lambda_1 (1,2,-2)^t \Leftrightarrow A (1,2,-2)^t=\lambda_1 (1,2,-2)^t
dvs
\Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrr}3&2&2\\2&2&0\\2&0&a\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}1\\2\\-2\end{array}\right) =\lambda_1 \left(\begin{array}{r}1\\2\\-2\end{array}\right)
dvs
\Leftrightarrow \left(\begin{array}{c}3\\6\\2-2a\end{array}\right) =\left(\begin{array}{c}\lambda_1\\2\lambda_1\\-2\lambda_1\end{array}\right) \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{ccl}\lambda_1&=&3\\a&=&4\end{array}\right.
