Slaskövning22

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Nuvarande version (23 november 2010 kl. 14.58) (redigera) (ogör)
 
(29 mellanliggande versioner visas inte.)
Rad 1: Rad 1:
 +
__TOC__
<div class="ovning">
<div class="ovning">
===Övning 22.1===
===Övning 22.1===
Rad 55: Rad 56:
Bestäm en bas för <math> {\bf R}^3 </math> av egenvektorer till matrisen
Bestäm en bas för <math> {\bf R}^3 </math> av egenvektorer till matrisen
<center><math>
<center><math>
-
\left(\begin{array}{rrr} -9& -4& -5\\ -3& 8& -5\\ -3& -4& 7\end{array}\right).
+
\left(\begin{array}{rrr} 9& -4& -5\\ -3& 8& -5\\ -3& -4& 7\end{array}\right).
</math></center>
</math></center>
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.4|Tips och lösning|Tips och lösning till U 22.4}}
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.4|Tips och lösning|Tips och lösning till U 22.4}}
 +
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 22.5===
 +
Avbildningen <math> F:{\bf R^3}\rightarrow{\bf R^3} </math> ges i
 +
basen <math> \underline{\boldsymbol{e}} </math>
 +
av matrisen <math> \left(\begin{array}{rrr} -1& 2& 2\\ 0& 1& 2\\ 0& 0& -1\end{array}\right) </math>.
 +
 +
Bestäm en bas bestående av egenvektorer till <math> F </math>.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.5|Tips och lösning|Tips och lösning till U 22.5}}
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 22.6===
 +
Låt <math> \underline{\boldsymbol{e}} =\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} </math> vara en bas för rummet. En linjär avbildning <math> F </math> på rummet ges av
 +
<center><math>
 +
F(\boldsymbol{e}_1)=2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2,\qquad
 +
F(\boldsymbol{e}_2)=\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2,\qquad
 +
F(\boldsymbol{e}_3)=3\boldsymbol{e}_1+3\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3.
 +
</math></center>
 +
Bestäm om möjligt en bas för rummet som består av egenvektorer till <math> F </math>.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.5|Tips och lösning|Tips och lösning till U 22.5}}
 +
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 22.7===
 +
Avbildningen <math> F </math> ges i plan ON-bas
 +
<math> \underline{\boldsymbol{e}} </math> av matrisen
 +
<math> \left(\begin{array}{rrr} 2& -1 \\ 1 & 0\end{array}\right) </math>.
 +
Bestäm egenvärden och egenvektorer till <math> F </math>. Finns det någon bas bestående av egenvärden och egenvektorer?
 +
Bestäm en ON-bas som innehåller så många egenvektorer som möjligt och bestäm <math> F </math>:s matris i denna bas.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.7|Tips och lösning|Tips och lösning till U 22.7}}
 +
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 22.8===
 +
Avgör om nedanstående matriser är diagonaliserbara och bestäm i så
 +
fall en matris <math> T </math> sådan att <math> T^{-1}AT </math> är en diagonalmatris:
 +
 +
{| width="100%" cellspacing="10px"
 +
|a)
 +
|width="33%" | <math> A=\left(\begin{array}{rrr} -3&-1&-1\\8&2&1\\-2&0&1\end{array}\right) </math>
 +
|b)
 +
|width="33%" | <math> A= \left(\begin{array}{rrr} 1&-3&4\\4&-7&8\\6&-7&7\end{array}\right) </math>
 +
|c)
 +
|width="33%" | <math> A= \left(\begin{array}{rrr} -1&3&-1\\-3&5&-1\\-3&3&1\end{array}\right)</math>
 +
|}
 +
 +
 +
{| width="100%" cellspacing="10px"
 +
|d)
 +
|width="33%" | <math> A=\left(\begin{array}{rrr} 1&3&3\\3&1&3\\-3&-3&-5\end{array}\right) </math>
 +
|e)
 +
|width="33%" | <math> A= \left(\begin{array}{rrr} 3&-4&-4\\-1&3&2\\2&-4&-3\end{array}\right) </math>
 +
|
 +
|width="33%" |
 +
|}
 +
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.8|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 22.8a
 +
|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 22.8b
 +
|Tips och lösning till c)|Tips och lösning till U 22.8c
 +
|Tips och lösning till d)|Tips och lösning till U 22.8d
 +
|Tips och lösning till e)|Tips och lösning till U 22.8e}}
 +
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 22.9===
 +
Undersök diagonaliserbarheten hos matriserna
 +
{| width="100%" cellspacing="10px"
 +
|a)
 +
|width="50%" | <math>\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}</math>
 +
|b)
 +
|width="50%" | <math>\begin{pmatrix}0&1&1\\-1&0&1\\-1&-1&0\end{pmatrix}</math>
 +
|}
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.9|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 22.9a
 +
|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 22.9b}}
 +
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 22.10===
 +
Den symmetriska avbildningen <math> F:{\bf E^3}\rightarrow{\bf E^3}
 +
</math> ges i en ON-bas <math> \underline{\boldsymbol{e}} </math> av
 +
matrisen
 +
<center><math>
 +
\left( \begin{array}{rrr} 1& 2& 3\\2 & 2& 2\\ 3& 2& 1\end{array}\right).
 +
</math></center>
 +
 +
Bestäm en ON-bas bestående av egenvektorer till <math> F </math>.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.10|Tips och lösning|Tips och lösning till U 22.10}}
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 22.11===
 +
Bestäm en ON-bas av egenvektorer till den linjära avbildning som i en viss ON-bas har matrisen
 +
<center><math>
 +
\left( \begin{array}{rrr} 0& 0& 1\\0 & 1& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right).
 +
</math></center>
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.11|Tips och lösning|Tips och lösning till U 22.11}}
 +
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 22.12===
 +
En linjär avbildning <math> F </math> på rummet har i ON-basen <math> \underline{\boldsymbol{e}}= \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} </math> matrisen
 +
 +
 +
<center><math>
 +
\left( \begin{array}{rrr} 3& 2& 2\\2 & 2& 0\\ 2& 0& a\end{array}\right).
 +
</math></center>
 +
 +
 +
a) Bestäm konstanten <math> a </math> så att <math> \boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2-2\boldsymbol{e}_3 </math> blir en egenvektor till <math> F </math>.
 +
 +
b) Finn för detta <math> a </math> en ON-bas av egenvektorer för rummet.
 +
 +
c) Ge exempel på en högerorienterad ON-bas i b).
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.12|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 22.12a
 +
|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 22.12b
 +
|Tips och lösning till c)|Tips och lösning till U 22.12c}}
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 22.13===
 +
Bestäm en bas för <math> {\bf R}^3 </math>, som består av egenvektorer till matrisen
 +
<center><math>
 +
\left( \begin{array}{rrr} 1& 2& 1\\2 & 1& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right).
 +
</math></center>
 +
och beräkna koordinaterna för vektorn <math> (0,1,0)^t </math> i denna bas av egenvektorer.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.13|Tips och lösning|Tips och lösning till U 22.13}}
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 22.14===
 +
Vilken <math>3\times3</math> matris har egenvärden 1,3 och 4 hörande till egenvektorerna <math> (1,2,1)^t </math>, <math> (1,0,-1)^t </math> resp. <math> (1,-1,1)^t </math>.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.14|Tips och lösning|Tips och lösning till U 22.14}}
 +
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 22.15===
 +
Antag att <math> F:{\bf E^2}\rightarrow{\bf E^2} </math> är en linjär avbildning som i basen <math> \underline{\boldsymbol{e}} </math> har avbildningsmatrisen
 +
<center><math>
 +
A_{\boldsymbol{e}}=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{rr}2&-1\\-1&2\end{array}\right).
 +
</math></center>
 +
 +
a) Bestäm en bas <math> \underline{\boldsymbol{f}} </math> för <math> E^2 </math> bestående av egenvektorer till <math> F </math>.
 +
 +
b) Bestäm bassambandet samt sambandet mellan avbildningsmatriserna <math> A_{\boldsymbol{e}} </math> och <math> A_{\boldsymbol{f}} </math>.
 +
 +
c) Beräkna <math> A_{\boldsymbol{e}}^{5} </math>, <math> A_{\boldsymbol{e}}^{-1} </math> och <math> \lim_{n\rightarrow\infty}A^n_{\boldsymbol{e}} </math>.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.15|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 22.15a
 +
|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 22.15b
 +
|Tips och lösning till c)|Tips och lösning till U 22.15c}}
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 22.16===
 +
Bestäm en ortogonal matris <math> T </math> sådan att <math> T^tAT </math> är en diagonalmatris, då
 +
 +
{| width="100%" cellspacing="10px"
 +
|a)
 +
|width="50%" | <math>A=\begin{pmatrix}7&4\\4&13\end{pmatrix}</math>
 +
|b)
 +
|width="50%" | <math>A=\left( \begin{array}{rrr} -1&0&2\\0&1&-2\\2&-2&0\end{array}\right)</math>
 +
|}
 +
 +
 +
{| width="100%" cellspacing="10px"
 +
|c)
 +
|width="50%" | <math>A=\left( \begin{array}{rrr} 4&-2&-2\\-2&-5&7\\-2&7&-5\end{array}\right)</math>
 +
|d)
 +
|width="50%" | <math>A=\left( \begin{array}{rrrr}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\end{array}\right)</math>
 +
|}
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.16|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 22.16a
 +
|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 22.16b
 +
|Tips och lösning till c)|Tips och lösning till U 22.16c
 +
|Tips och lösning till d)|Tips och lösning till U 22.16d}}
 +
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 22.17===
 +
En linjär avbildning <math>F </math> på rummet har i en viss ON-bas matrisen
 +
<center><math>
 +
A=\frac{1}{3}\left( \begin{array}{rrr} 1&2&0\\2&0&2\\0&2&-1\end{array}\right)
 +
</math></center>
 +
 +
a) Bestäm en ON-bas för rummet bestående av egenvektorer till <math>F </math>.
 +
 +
b) Bestäm matrisen för avbildningen <math>F^{1789} </math>.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.17|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 22.17a
 +
|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 22.17b}}
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 22.18===
 +
Bestäm en matris <math>B </math>
 +
sådan att
 +
<math>B^2=\left(\begin{array}{rr} 5&4\\4&5 \end{array}\right) </math>.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.18|Tips och lösning|Tips och lösning till U 22.18}}
 +
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 22.19===
 +
En linjär avbildning <math>F </math> på rummet har i en positivt orienterad ON-bas <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} </math> matrisen
 +
{| width="100%" cellspacing="10px"
 +
|a)
 +
|width="50%" | <math>A_1=\frac{1}{3}\left( \begin{array}{rrr} 2&-1&-1\\-1&2&-1\\-1&-1&2\end{array}\right)</math>
 +
|b)
 +
|width="50%" | <math>A_2=\left( \begin{array}{rrr} -3&-2&-1\\2&-1&-1\\2&-2&0\end{array}\right)</math>
 +
|}
 +
 +
 +
{| width="100%" cellspacing="10px"
 +
|c)
 +
|width="50%" | <math>A_3=\frac{1}{3}\left( \begin{array}{rrr} 2&1&2\\-2&2&1\\-1&-2&2\end{array}\right)</math>
 +
|d)
 +
|width="50%" | <math>A_4=\frac{1}{6}\left( \begin{array}{rrr} -1&-2&-3\\2&4&6\\1&2&3\end{array}\right)</math>
 +
|}
 +
Utred så detaljerat som möjligt <math>F</math>:s geometriska betydelse.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.19|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 22.19a
 +
|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 22.19b
 +
|Tips och lösning till c)|Tips och lösning till U 22.19c
 +
|Tips och lösning till d)|Tips och lösning till U 22.19d}}
 +
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 22.20===
 +
 +
Ange den symmetriska matrisen för följande kvadratiska former
 +
 +
a) <math>x^2_1+2x_1x_2+x_2^2 </math> i <math>{\bf R}^2 </math>.
 +
 +
b) <math>x^2_1-x_2^2-2x_1x_3-3x_2x_3 </math> i <math>{\bf R}^3 </math>.
 +
 +
c) <math>x^2_1+2x_1x_2+x_2^2 </math> i <math>{\bf R}^3 </math>.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.21|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 22.20a
 +
|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 22.20b
 +
|Tips och lösning till c)|Tips och lösning till U 22.20c}}
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 22.21===
 +
Skriv som polynom de kvadratiska former som har matriserna
 +
{| width="100%" cellspacing="10px"
 +
|a)
 +
|width="50%" | <math>\left(\begin{array}{rr} 1&2 \\ 2& 1\end{array}\right)</math>
 +
|b)
 +
|width="50%" | <math>\left( \begin{array}{rrr} 0& 1& 2\\1&-1&0\\2&0&3\end{array}\right)</math>
 +
|}
 +
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.21|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 22.21a
 +
|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 22.21b}}
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 22.22===
 +
Ekvationerna nedan är givna i <math>{\bf R}^3 </math>. Skriv dessa på kanonisk form
 +
och ange deras geometriska betydelse.
 +
 +
a) <math>5x_1^2+5x_2^2+5x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3=1 </math>.
 +
 +
b) <math>2x_1^2+x_2^2-4x_1x_2-4x_2x_3=1 </math>.
 +
 +
c) <math>-x_1^2-x_2^2-x_3^2+2x_1x_2-2x_1x_3-2x_2x_3=1 </math>.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.21|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 22.21a
 +
|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 22.21b
 +
|Tips och lösning till c)|Tips och lösning till U 22.21c}}
 +
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 22.23===
 +
Bestäm största och minsta värde av den kvadratiska formen
 +
<center><math>
 +
Q=x_1^2+\sqrt3x_1x_2+2x_2^2
 +
</math></center>
 +
på enhetscirkeln <math> x_1^2+x_2^2=1 </math> och ange i vilka punkter extremvärdena antas.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.23|Tips och lösning|Tips och lösning till U 22.23}}
 +
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 22.24===
 +
Låt <math> d </math> vara avståndet från en punkt på kurvan
 +
<center><math>
 +
3x_1^2+4x_1x_2=9
 +
</math></center>
 +
till origo. Rita kurvan i ett väl valt koordinatsystem. Vilka värden kan <math> d </math> anta? I förekommande fall ange de
 +
punkter där <math> d </math> antar sitt största respektive minsta värde.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.24|Tips och lösning|Tips och lösning till U 22.24}}
 +
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 22.25===
 +
Beskriv kurvan
 +
<center><math>
 +
17x_1^2-12x_1x_2+8x_2^2=20.
 +
</math></center>
 +
Ange de punkter på kurvan som ligger närmast respektive längst bort från origo.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.25|Tips och lösning|Tips och lösning till U 22.25}}
 +
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 22.26===
 +
Visa att andragradskurvan i <math> {\bf R}^2 </math>, definierad av
 +
<center><math>
 +
x_1^2-2x_1x_2+3x_2^2=1
 +
</math></center>
 +
betyder en ellips.
 +
 +
Ange också ellipsens area. Det anses känt att ellipsen <math> \frac{x^2_1}{a^2}+\frac{x^2_2}{b^2}=1 </math> har arean <math> \pi ab </math>.
 +
 +
Ange de punkter på kurvan som ligger närmast respektive längst bort från origo.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.26|Tips och lösning|Tips och lösning till U 22.26}}
 +
 +
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 22.27===
 +
Låt <math> d </math> vara avståndet från en punkt på ytan
 +
<center><math>
 +
3x_1^2+x_2^2+x_3^2+2\sqrt3x_1x_3=1
 +
</math></center>
 +
till origo. Vilka värden kan <math> d </math> anta? I förekommande fall ange de
 +
punkter där <math> d </math> antar sitt största respektive minsta värde.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.27|Tips och lösning|Tips och lösning till U 22.27}}
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 22.28===
 +
Bestäm största resp. minsta värde som den kvadratiska formen
 +
<center><math>
 +
Q=3x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+4x_1x_3-2x_2x_3
 +
</math></center>
 +
antar på enhetssfären <math> x_1^2+x_2^2+x_3^2=1 </math> och ange i vilka punkter extremvärdena antas.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.28|Tips och lösning|Tips och lösning till U 22.28}}
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 22.29===
 +
Bestäm största och minsta värde av den kvadratiska formen
 +
<center><math>
 +
Q=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3-2x_2x_3
 +
</math></center>
 +
på enhetssfären <math> x_1^2+x_2^2+x_3^2=1 </math> och ange i vilka punkter extremvärdena antas.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.29|Tips och lösning|Tips och lösning till U 22.29}}
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 22.30===
 +
Betrakta den kvadratiska formen
 +
<center><math>
 +
Q(\boldsymbol{u})=Q(\underline{\boldsymbol{e}}X)=2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2-2x_1x_2-2x_1x_3-2x_2x_3.
 +
</math></center>
 +
 +
a) Uttryck <math> Q </math> i kanonisk bas.
 +
 +
b) Bestäm <math> Q </math>:s nollställen dels i den nya kanoniska basen och dels i den gamla basen.
 +
 +
c) Beskriv ytan
 +
<center><math>
 +
2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2-2x_1x_2-2x_1x_3-2x_2x_3=1
 +
</math></center>
 +
och bestäm ekvationen för ett plan som skär ytan under rät vinkel.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.30|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 22.30a
 +
|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 22.30b
 +
|Tips och lösning till c)|Tips och lösning till U 22.30c}}
 +
 +
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 22.31===
 +
Bestäm en gemensam punkt till ytorna
 +
<center><math>
 +
\begin{array}{rcl}
 +
5x_1^2+8x_2^2+5x_3^2-4x_1x_2+8x_1x_3+4x_2x_3&=&9\\
 +
x_1^2+x_2^2+x_3^2&=&1\end{array}
 +
</math></center>
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.31|Tips och lösning|Tips och lösning till U 22.31}}
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 22.32===
 +
Lös systemet <math> \left\{\begin{array}{rcl}y'_1(t)&=&y_1(t)+y_2(t)\\y'_2(t)&=&3y_1(t)-y_2(t)\end{array}\right.
 +
\quad\boldsymbol{y}(0)=\left(\begin{array}{r} 1\\0\end{array}\right) </math>.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.32|Tips och lösning|Tips och lösning till U 22.32}}
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 22.33===
 +
Lös begynnelsevärdesproblemet
 +
<center><math>
 +
\left\{\begin{array}{lclclcl}
 +
y'_1(t)&=&2y_1(t)&+&6y_2(t)&&\\
 +
y'_2(t)&=&3y_1(t)&+&6y_3(t)&&\\
 +
y'_3(t)&=&5y_2(t)&+&2y_3(t)&&
 +
\end{array}
 +
\right.\quad\mbox{där}\quad
 +
\boldsymbol{y}(0)=\left(\begin{array}{r}0\\14\\56\end{array}\right).
 +
</math></center>
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.33|Tips och lösning|Tips och lösning till U 22.33}}
 +
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 22.34===
 +
Bestäm alla lösningar till systemet
 +
<center><math>
 +
\left\{\begin{array}{rcrcrcr} y'_1(t)&=&y_1(t)&&&-&2y_3(t)\\
 +
y'_2(t)&=& &-&y_2(t)&-&2y_3(t)\\
 +
y'_3(t)&=&-2y_1(t)&-&2y_2(t)&&\end{array}\right.
 +
</math></center>
 +
 +
 +
Bestäm den speciella lösning som uppfyller <math> y_{1}(0)=5 </math>, <math> y_{2}(0)=1 </math> och <math> y_{3}(0)=1 </math>.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.34|Tips och lösning|Tips och lösning till U 22.34}}
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 22.35===
 +
Antag att talföljderna <math> a_n </math>, <math> b_n </math>, <math> n=1,2,\dots </math>, uppfyller
 +
<center><math>
 +
\left(\begin{array}{r}{a_n}\\{b_n} \end{array}\right) =
 +
\left(\begin{array}{r} 2&12\\1&3 \end{array}\right)
 +
\left(\begin{array}{r}{a_{n-1}}\\{b_{n-1}} \end{array}\right)\
 +
n=1,2,\dots,
 +
</math></center>
 +
där <math>
 +
\left(\begin{array}{r}{a_0}\\{b_0}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}2\\3 \end{array}\right) </math>.
 +
Beräkna <math> \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{6^n} \left(\begin{array}{r}{a_n}\\{b_n} \end{array}\right)</math>.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.35|Tips och lösning|Tips och lösning till U 22.35}}
 +
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 22.36===
 +
Betrakta differensekvationen
 +
<center><math>
 +
a_{n+2}=\frac{1}{2}(a_{n+1}+a_n),\qquad n=0,1,2,\dots,
 +
</math></center>
 +
med begynnelsevillkoren <math> a_0=0 </math> och <math> a_1=1 </math>.
 +
 +
 +
Beräkna <math> \lim_{n\rightarrow\infty}a_n </math>.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.36|Tips och lösning|Tips och lösning till U 22.36}}

Nuvarande version

Innehåll

Övning 22.1

Låt \displaystyle O\boldsymbol{e}_1\boldsymbol{e}_2\boldsymbol{e}_3 vara ett ON-system i rummet. Bestäm egenvärden och egenvektorer för den linjära avbildning som beskriver

a) ortogonal projektion i planet \displaystyle x_1+x_2+x_3=0

b) spegling i planet \displaystyle x_1+x_2+x_3=0

c) vridning \displaystyle \pi/2 kring \displaystyle \boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3

d) vridning \displaystyle \pi kring \displaystyle \boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3

Svar
Svar till U 22.1
Tips och lösning till a)
Tips och lösning till U 22.1a
Tips och lösning till b)
Tips och lösning till U 22.1b
Tips och lösning till c)
Tips och lösning till U 22.1c
Tips och lösning till d)
Tips och lösning till U 22.1d


Övning 22.2

Låt \displaystyle F vara en linjär avbildning på rummet med matrisen \displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr}1&-1&-1\\-2&0&1\\2&2&1\end{array}\right) .

a) Visa att \displaystyle \lambda_1=1 är ett egenvärde med tillhörande egenvektor \displaystyle \boldsymbol{v}_1=\underline{\boldsymbol{e}} \left(\begin{array}{r}1\\-1\\1\end{array}\right) till \displaystyle F .

b) Visa att \displaystyle \boldsymbol{v}_2=\underline{\boldsymbol{e}} \left(\begin{array}{r}0\\-1\\1\end{array}\right) är en egenvektor till \displaystyle F . Bestäm tillhörande egenvärde \displaystyle \lambda_2 .

c) Visa att \displaystyle \lambda_3=2 är ett egenvärde till \displaystyle F och bestäm tillhörande egenvektor \displaystyle \boldsymbol{v}_3 .

Svar
Svar till U 22.2
Tips och lösning till a)
Tips och lösning till U 22.2a
Tips och lösning till b)
Tips och lösning till U 22.2b
Tips och lösning till c)
Tips och lösning till U 22.2c


Övning 22.3

Antag att \displaystyle F är en linjär avbildning i rummet som har matrisen

\displaystyle

\left( \begin{array}{rrr} 3& 1&0 \\ 0&3& 0 \\ 0& 0& 1 \end{array}\right).

a) Bestäm egenvärdena till \displaystyle F .

b) Bestäm egenrummen till \displaystyle F .

Svar
Svar till U 22.3
Tips och lösning till a)
Tips och lösning till U 22.3a
Tips och lösning till b)
Tips och lösning till U 22.3b



Övning 22.4

Bestäm en bas för \displaystyle {\bf R}^3 av egenvektorer till matrisen

\displaystyle

\left(\begin{array}{rrr} 9& -4& -5\\ -3& 8& -5\\ -3& -4& 7\end{array}\right).

Svar
Svar till U 22.4
Tips och lösning
Tips och lösning till U 22.4



Övning 22.5

Avbildningen \displaystyle F:{\bf R^3}\rightarrow{\bf R^3} ges i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} av matrisen \displaystyle \left(\begin{array}{rrr} -1& 2& 2\\ 0& 1& 2\\ 0& 0& -1\end{array}\right) .

Bestäm en bas bestående av egenvektorer till \displaystyle F .

Svar
Svar till U 22.5
Tips och lösning
Tips och lösning till U 22.5


Övning 22.6

Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} =\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} vara en bas för rummet. En linjär avbildning \displaystyle F på rummet ges av

\displaystyle

F(\boldsymbol{e}_1)=2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2,\qquad F(\boldsymbol{e}_2)=\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2,\qquad F(\boldsymbol{e}_3)=3\boldsymbol{e}_1+3\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3.

Bestäm om möjligt en bas för rummet som består av egenvektorer till \displaystyle F .

Svar
Svar till U 22.5
Tips och lösning
Tips och lösning till U 22.5



Övning 22.7

Avbildningen \displaystyle F ges i plan ON-bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} av matrisen \displaystyle \left(\begin{array}{rrr} 2& -1 \\ 1 & 0\end{array}\right) . Bestäm egenvärden och egenvektorer till \displaystyle F . Finns det någon bas bestående av egenvärden och egenvektorer? Bestäm en ON-bas som innehåller så många egenvektorer som möjligt och bestäm \displaystyle F :s matris i denna bas.

Svar
Svar till U 22.7
Tips och lösning
Tips och lösning till U 22.7



Övning 22.8

Avgör om nedanstående matriser är diagonaliserbara och bestäm i så fall en matris \displaystyle T sådan att \displaystyle T^{-1}AT är en diagonalmatris:

a) \displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr} -3&-1&-1\\8&2&1\\-2&0&1\end{array}\right) b) \displaystyle A= \left(\begin{array}{rrr} 1&-3&4\\4&-7&8\\6&-7&7\end{array}\right) c) \displaystyle A= \left(\begin{array}{rrr} -1&3&-1\\-3&5&-1\\-3&3&1\end{array}\right)


d) \displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr} 1&3&3\\3&1&3\\-3&-3&-5\end{array}\right) e) \displaystyle A= \left(\begin{array}{rrr} 3&-4&-4\\-1&3&2\\2&-4&-3\end{array}\right)
Svar
Svar till U 22.8
Tips och lösning till a)
Tips och lösning till U 22.8a
Tips och lösning till b)
Tips och lösning till U 22.8b
Tips och lösning till c)
Tips och lösning till U 22.8c
Tips och lösning till d)
Tips och lösning till U 22.8d
Tips och lösning till e)
Tips och lösning till U 22.8e



Övning 22.9

Undersök diagonaliserbarheten hos matriserna

a) \displaystyle \begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix} b) \displaystyle \begin{pmatrix}0&1&1\\-1&0&1\\-1&-1&0\end{pmatrix}
Svar
Svar till U 22.9
Tips och lösning till a)
Tips och lösning till U 22.9a
Tips och lösning till b)
Tips och lösning till U 22.9b



Övning 22.10

Den symmetriska avbildningen \displaystyle F:{\bf E^3}\rightarrow{\bf E^3} ges i en ON-bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} av matrisen

\displaystyle

\left( \begin{array}{rrr} 1& 2& 3\\2 & 2& 2\\ 3& 2& 1\end{array}\right).

Bestäm en ON-bas bestående av egenvektorer till \displaystyle F .

Svar
Svar till U 22.10
Tips och lösning
Tips och lösning till U 22.10


Övning 22.11

Bestäm en ON-bas av egenvektorer till den linjära avbildning som i en viss ON-bas har matrisen

\displaystyle

\left( \begin{array}{rrr} 0& 0& 1\\0 & 1& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right).

Svar
Svar till U 22.11
Tips och lösning
Tips och lösning till U 22.11



Övning 22.12

En linjär avbildning \displaystyle F på rummet har i ON-basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}= \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} matrisen


\displaystyle

\left( \begin{array}{rrr} 3& 2& 2\\2 & 2& 0\\ 2& 0& a\end{array}\right).


a) Bestäm konstanten \displaystyle a så att \displaystyle \boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2-2\boldsymbol{e}_3 blir en egenvektor till \displaystyle F .

b) Finn för detta \displaystyle a en ON-bas av egenvektorer för rummet.

c) Ge exempel på en högerorienterad ON-bas i b).

Svar
Svar till U 22.12
Tips och lösning till a)
Tips och lösning till U 22.12a
Tips och lösning till b)
Tips och lösning till U 22.12b
Tips och lösning till c)
Tips och lösning till U 22.12c


Övning 22.13

Bestäm en bas för \displaystyle {\bf R}^3 , som består av egenvektorer till matrisen

\displaystyle

\left( \begin{array}{rrr} 1& 2& 1\\2 & 1& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right).

och beräkna koordinaterna för vektorn \displaystyle (0,1,0)^t i denna bas av egenvektorer.

Svar
Svar till U 22.13
Tips och lösning
Tips och lösning till U 22.13


Övning 22.14

Vilken \displaystyle 3\times3 matris har egenvärden 1,3 och 4 hörande till egenvektorerna \displaystyle (1,2,1)^t , \displaystyle (1,0,-1)^t resp. \displaystyle (1,-1,1)^t .

Svar
Svar till U 22.14
Tips och lösning
Tips och lösning till U 22.14



Övning 22.15

Antag att \displaystyle F:{\bf E^2}\rightarrow{\bf E^2} är en linjär avbildning som i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} har avbildningsmatrisen

\displaystyle

A_{\boldsymbol{e}}=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{rr}2&-1\\-1&2\end{array}\right).

a) Bestäm en bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} för \displaystyle E^2 bestående av egenvektorer till \displaystyle F .

b) Bestäm bassambandet samt sambandet mellan avbildningsmatriserna \displaystyle A_{\boldsymbol{e}} och \displaystyle A_{\boldsymbol{f}} .

c) Beräkna \displaystyle A_{\boldsymbol{e}}^{5} , \displaystyle A_{\boldsymbol{e}}^{-1} och \displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}A^n_{\boldsymbol{e}} .

Svar
Svar till U 22.15
Tips och lösning till a)
Tips och lösning till U 22.15a
Tips och lösning till b)
Tips och lösning till U 22.15b
Tips och lösning till c)
Tips och lösning till U 22.15c


Övning 22.16

Bestäm en ortogonal matris \displaystyle T sådan att \displaystyle T^tAT är en diagonalmatris, då

a) \displaystyle A=\begin{pmatrix}7&4\\4&13\end{pmatrix} b) \displaystyle A=\left( \begin{array}{rrr} -1&0&2\\0&1&-2\\2&-2&0\end{array}\right)


c) \displaystyle A=\left( \begin{array}{rrr} 4&-2&-2\\-2&-5&7\\-2&7&-5\end{array}\right) d) \displaystyle A=\left( \begin{array}{rrrr}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\end{array}\right)
Svar
Svar till U 22.16
Tips och lösning till a)
Tips och lösning till U 22.16a
Tips och lösning till b)
Tips och lösning till U 22.16b
Tips och lösning till c)
Tips och lösning till U 22.16c
Tips och lösning till d)
Tips och lösning till U 22.16d



Övning 22.17

En linjär avbildning \displaystyle F på rummet har i en viss ON-bas matrisen

\displaystyle

A=\frac{1}{3}\left( \begin{array}{rrr} 1&2&0\\2&0&2\\0&2&-1\end{array}\right)

a) Bestäm en ON-bas för rummet bestående av egenvektorer till \displaystyle F .

b) Bestäm matrisen för avbildningen \displaystyle F^{1789} .

Svar
Svar till U 22.17
Tips och lösning till a)
Tips och lösning till U 22.17a
Tips och lösning till b)
Tips och lösning till U 22.17b


Övning 22.18

Bestäm en matris \displaystyle B sådan att \displaystyle B^2=\left(\begin{array}{rr} 5&4\\4&5 \end{array}\right) .

Svar
Svar till U 22.18
Tips och lösning
Tips och lösning till U 22.18



Övning 22.19

En linjär avbildning \displaystyle F på rummet har i en positivt orienterad ON-bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} matrisen

a) \displaystyle A_1=\frac{1}{3}\left( \begin{array}{rrr} 2&-1&-1\\-1&2&-1\\-1&-1&2\end{array}\right) b) \displaystyle A_2=\left( \begin{array}{rrr} -3&-2&-1\\2&-1&-1\\2&-2&0\end{array}\right)


c) \displaystyle A_3=\frac{1}{3}\left( \begin{array}{rrr} 2&1&2\\-2&2&1\\-1&-2&2\end{array}\right) d) \displaystyle A_4=\frac{1}{6}\left( \begin{array}{rrr} -1&-2&-3\\2&4&6\\1&2&3\end{array}\right)

Utred så detaljerat som möjligt \displaystyle F:s geometriska betydelse.

Svar
Svar till U 22.19
Tips och lösning till a)
Tips och lösning till U 22.19a
Tips och lösning till b)
Tips och lösning till U 22.19b
Tips och lösning till c)
Tips och lösning till U 22.19c
Tips och lösning till d)
Tips och lösning till U 22.19d



Övning 22.20

Ange den symmetriska matrisen för följande kvadratiska former

a) \displaystyle x^2_1+2x_1x_2+x_2^2 i \displaystyle {\bf R}^2 .

b) \displaystyle x^2_1-x_2^2-2x_1x_3-3x_2x_3 i \displaystyle {\bf R}^3 .

c) \displaystyle x^2_1+2x_1x_2+x_2^2 i \displaystyle {\bf R}^3 .

Svar
Svar till U 22.21
Tips och lösning till a)
Tips och lösning till U 22.20a
Tips och lösning till b)
Tips och lösning till U 22.20b
Tips och lösning till c)
Tips och lösning till U 22.20c


Övning 22.21

Skriv som polynom de kvadratiska former som har matriserna

a) \displaystyle \left(\begin{array}{rr} 1&2 \\ 2& 1\end{array}\right) b) \displaystyle \left( \begin{array}{rrr} 0& 1& 2\\1&-1&0\\2&0&3\end{array}\right)
Svar
Svar till U 22.21
Tips och lösning till a)
Tips och lösning till U 22.21a
Tips och lösning till b)
Tips och lösning till U 22.21b


Övning 22.22

Ekvationerna nedan är givna i \displaystyle {\bf R}^3 . Skriv dessa på kanonisk form och ange deras geometriska betydelse.

a) \displaystyle 5x_1^2+5x_2^2+5x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3=1 .

b) \displaystyle 2x_1^2+x_2^2-4x_1x_2-4x_2x_3=1 .

c) \displaystyle -x_1^2-x_2^2-x_3^2+2x_1x_2-2x_1x_3-2x_2x_3=1 .

Svar
Svar till U 22.21
Tips och lösning till a)
Tips och lösning till U 22.21a
Tips och lösning till b)
Tips och lösning till U 22.21b
Tips och lösning till c)
Tips och lösning till U 22.21c



Övning 22.23

Bestäm största och minsta värde av den kvadratiska formen

\displaystyle

Q=x_1^2+\sqrt3x_1x_2+2x_2^2

på enhetscirkeln \displaystyle x_1^2+x_2^2=1 och ange i vilka punkter extremvärdena antas.

Svar
Svar till U 22.23
Tips och lösning
Tips och lösning till U 22.23



Övning 22.24

Låt \displaystyle d vara avståndet från en punkt på kurvan

\displaystyle

3x_1^2+4x_1x_2=9

till origo. Rita kurvan i ett väl valt koordinatsystem. Vilka värden kan \displaystyle d anta? I förekommande fall ange de punkter där \displaystyle d antar sitt största respektive minsta värde.

Svar
Svar till U 22.24
Tips och lösning
Tips och lösning till U 22.24



Övning 22.25

Beskriv kurvan

\displaystyle

17x_1^2-12x_1x_2+8x_2^2=20.

Ange de punkter på kurvan som ligger närmast respektive längst bort från origo.

Svar
Svar till U 22.25
Tips och lösning
Tips och lösning till U 22.25



Övning 22.26

Visa att andragradskurvan i \displaystyle {\bf R}^2 , definierad av

\displaystyle

x_1^2-2x_1x_2+3x_2^2=1

betyder en ellips.

Ange också ellipsens area. Det anses känt att ellipsen \displaystyle \frac{x^2_1}{a^2}+\frac{x^2_2}{b^2}=1 har arean \displaystyle \pi ab .

Ange de punkter på kurvan som ligger närmast respektive längst bort från origo.

Svar
Svar till U 22.26
Tips och lösning
Tips och lösning till U 22.26



Övning 22.27

Låt \displaystyle d vara avståndet från en punkt på ytan

\displaystyle

3x_1^2+x_2^2+x_3^2+2\sqrt3x_1x_3=1

till origo. Vilka värden kan \displaystyle d anta? I förekommande fall ange de punkter där \displaystyle d antar sitt största respektive minsta värde.

Svar
Svar till U 22.27
Tips och lösning
Tips och lösning till U 22.27


Övning 22.28

Bestäm största resp. minsta värde som den kvadratiska formen

\displaystyle

Q=3x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+4x_1x_3-2x_2x_3

antar på enhetssfären \displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=1 och ange i vilka punkter extremvärdena antas.

Svar
Svar till U 22.28
Tips och lösning
Tips och lösning till U 22.28


Övning 22.29

Bestäm största och minsta värde av den kvadratiska formen

\displaystyle

Q=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3-2x_2x_3

på enhetssfären \displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=1 och ange i vilka punkter extremvärdena antas.

Svar
Svar till U 22.29
Tips och lösning
Tips och lösning till U 22.29


Övning 22.30

Betrakta den kvadratiska formen

\displaystyle

Q(\boldsymbol{u})=Q(\underline{\boldsymbol{e}}X)=2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2-2x_1x_2-2x_1x_3-2x_2x_3.

a) Uttryck \displaystyle Q i kanonisk bas.

b) Bestäm \displaystyle Q :s nollställen dels i den nya kanoniska basen och dels i den gamla basen.

c) Beskriv ytan

\displaystyle

2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2-2x_1x_2-2x_1x_3-2x_2x_3=1

och bestäm ekvationen för ett plan som skär ytan under rät vinkel.

Svar
Svar till U 22.30
Tips och lösning till a)
Tips och lösning till U 22.30a
Tips och lösning till b)
Tips och lösning till U 22.30b
Tips och lösning till c)
Tips och lösning till U 22.30c



Övning 22.31

Bestäm en gemensam punkt till ytorna

\displaystyle

\begin{array}{rcl} 5x_1^2+8x_2^2+5x_3^2-4x_1x_2+8x_1x_3+4x_2x_3&=&9\\ 

                          x_1^2+x_2^2+x_3^2&=&1\end{array}
Svar
Svar till U 22.31
Tips och lösning
Tips och lösning till U 22.31


Övning 22.32

Lös systemet \displaystyle \left\{\begin{array}{rcl}y'_1(t)&=&y_1(t)+y_2(t)\\y'_2(t)&=&3y_1(t)-y_2(t)\end{array}\right. \quad\boldsymbol{y}(0)=\left(\begin{array}{r} 1\\0\end{array}\right) .

Svar
Svar till U 22.32
Tips och lösning
Tips och lösning till U 22.32


Övning 22.33

Lös begynnelsevärdesproblemet

\displaystyle

\left\{\begin{array}{lclclcl} y'_1(t)&=&2y_1(t)&+&6y_2(t)&&\\ y'_2(t)&=&3y_1(t)&+&6y_3(t)&&\\ y'_3(t)&=&5y_2(t)&+&2y_3(t)&& \end{array} \right.\quad\mbox{där}\quad \boldsymbol{y}(0)=\left(\begin{array}{r}0\\14\\56\end{array}\right).

Svar
Svar till U 22.33
Tips och lösning
Tips och lösning till U 22.33



Övning 22.34

Bestäm alla lösningar till systemet

\displaystyle

\left\{\begin{array}{rcrcrcr} y'_1(t)&=&y_1(t)&&&-&2y_3(t)\\ 

                                    y'_2(t)&=&      &-&y_2(t)&-&2y_3(t)\\
                                    y'_3(t)&=&-2y_1(t)&-&2y_2(t)&&\end{array}\right.


Bestäm den speciella lösning som uppfyller \displaystyle y_{1}(0)=5 , \displaystyle y_{2}(0)=1 och \displaystyle y_{3}(0)=1 .

Svar
Svar till U 22.34
Tips och lösning
Tips och lösning till U 22.34


Övning 22.35

Antag att talföljderna \displaystyle a_n , \displaystyle b_n , \displaystyle n=1,2,\dots , uppfyller

\displaystyle

\left(\begin{array}{r}{a_n}\\{b_n} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} 2&12\\1&3 \end{array}\right) \left(\begin{array}{r}{a_{n-1}}\\{b_{n-1}} \end{array}\right)\ n=1,2,\dots,

där \displaystyle \left(\begin{array}{r}{a_0}\\{b_0}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}2\\3 \end{array}\right) . Beräkna \displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{6^n} \left(\begin{array}{r}{a_n}\\{b_n} \end{array}\right).

Svar
Svar till U 22.35
Tips och lösning
Tips och lösning till U 22.35



Övning 22.36

Betrakta differensekvationen

\displaystyle

a_{n+2}=\frac{1}{2}(a_{n+1}+a_n),\qquad n=0,1,2,\dots,

med begynnelsevillkoren \displaystyle a_0=0 och \displaystyle a_1=1 .


Beräkna \displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}a_n .

Svar
Svar till U 22.36
Tips och lösning
Tips och lösning till U 22.36
Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Slask%C3%B6vning22