Slaskövning22

Övning 22.1

Låt \displaystyle O\boldsymbol{e}_1\boldsymbol{e}_2\boldsymbol{e}_3 vara ett ON-system i rummet. Bestäm egenvärden och egenvektorer för den linjära avbildning som beskriver

a) ortogonal projektion i planet \displaystyle x_1+x_2+x_3=0

b) spegling i planet \displaystyle x_1+x_2+x_3=0

c) vridning \displaystyle \pi/2 kring \displaystyle \boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3

d) vridning \displaystyle \pi kring \displaystyle \boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3

Övning 22.2

Låt \displaystyle F vara en linjär avbildning på rummet med matrisen \displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr}1&-1&-1\\-2&0&1\\2&2&1\end{array}\right) .

a) Visa att \displaystyle \lambda_1=1 är ett egenvärde med tillhörande egenvektor \displaystyle \boldsymbol{v}_1=\underline{\boldsymbol{e}} \left(\begin{array}{r}1\\-1\\1\end{array}\right) till \displaystyle F .

b) Visa att \displaystyle \boldsymbol{v}_2=\underline{\boldsymbol{e}} \left(\begin{array}{r}0\\-1\\1\end{array}\right) är en egenvektor till \displaystyle F . Bestäm tillhörande egenvärde \displaystyle \lambda_2 .

c) Visa att \displaystyle \lambda_3=2 är ett egenvärde till \displaystyle F och bestäm tillhörande egenvektor \displaystyle \boldsymbol{v}_3 .

Övning 22.3

Antag att \displaystyle F är en linjär avbildning i rummet som har matrisen

a) Bestäm egenvärdena till \displaystyle F .

b) Bestäm egenrummen till \displaystyle F .

Övning 22.4

Bestäm en bas för \displaystyle {\bf R}^3 av egenvektorer till matrisen

Övning 22.5

Avbildningen \displaystyle F:{\bf R^3}\rightarrow{\bf R^3} ges i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} av matrisen \displaystyle \left(\begin{array}{rrr} -1& 2& 2\\ 0& 1& 2\\ 0& 0& -1\end{array}\right) .

Bestäm en bas bestående av egenvektorer till \displaystyle F .

Övning 22.6

Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} =\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} vara en bas för rummet. En linjär avbildning \displaystyle F på rummet ges av

Bestäm om möjligt en bas för rummet som består av egenvektorer till \displaystyle F .

Övning 22.7

Avbildningen \displaystyle F ges i plan ON-bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} av matrisen \displaystyle \left(\begin{array}{rrr} 2& -1 \\ 1 & 0\end{array}\right) . Bestäm egenvärden och egenvektorer till \displaystyle F . Finns det någon bas bestående av egenvärden och egenvektorer? Bestäm en ON-bas som innehåller så många egenvektorer som möjligt och bestäm \displaystyle F :s matris i denna bas.

Övning 22.8

Avgör om nedanstående matriser är diagonaliserbara och bestäm i så fall en matris \displaystyle T sådan att \displaystyle T^{-1}AT är en diagonalmatris:

Övning 22.9

Undersök diagonaliserbarheten hos matriserna

Övning 22.10

Den symmetriska avbildningen \displaystyle F:{\bf E^3}\rightarrow{\bf E^3} ges i en ON-bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} av matrisen

Bestäm en ON-bas bestående av egenvektorer till \displaystyle F .

Övning 22.11

Bestäm en ON-bas av egenvektorer till den linjära avbildning som i en viss ON-bas har matrisen

Övning 22.12

En linjär avbildning \displaystyle F på rummet har i ON-basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}= \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} matrisen

a) Bestäm konstanten \displaystyle a så att \displaystyle \boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2-2\boldsymbol{e}_3 blir en egenvektor till \displaystyle F .

b) Finn för detta \displaystyle a en ON-bas av egenvektorer för rummet.

c) Ge exempel på en högerorienterad ON-bas i b).

Övning 22.13

Bestäm en bas för \displaystyle {\bf R}^3 , som består av egenvektorer till matrisen

och beräkna koordinaterna för vektorn \displaystyle (0,1,0)^t i denna bas av egenvektorer.

Övning 22.14

Vilken \displaystyle 3\times3 matris har egenvärden 1,3 och 4 hörande till egenvektorerna \displaystyle (1,2,1)^t , \displaystyle (1,0,-1)^t resp. \displaystyle (1,-1,1)^t .

Övning 22.15

Antag att \displaystyle F:{\bf E^2}\rightarrow{\bf E^2} är en linjär avbildning som i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} har avbildningsmatrisen

a) Bestäm en bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} för \displaystyle E^2 bestående av egenvektorer till \displaystyle F .

b) Bestäm bassambandet samt sambandet mellan avbildningsmatriserna \displaystyle A_{\boldsymbol{e}} och \displaystyle A_{\boldsymbol{f}} .

c) Beräkna \displaystyle A_{\boldsymbol{e}}^{5} , \displaystyle A_{\boldsymbol{e}}^{-1} och \displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}A^n_{\boldsymbol{e}} .

Övning 22.16

Bestäm en ortogonal matris \displaystyle T sådan att \displaystyle T^tAT är en diagonalmatris, då

Övning 22.17

En linjär avbildning \displaystyle F på rummet har i en viss ON-bas matrisen

a) Bestäm en ON-bas för rummet bestående av egenvektorer till \displaystyle F .

b) Bestäm matrisen för avbildningen \displaystyle F^{1789} .

Övning 22.18

Bestäm en matris \displaystyle B sådan att \displaystyle B^2=\left(\begin{array}{rr} 5&4\\4&5 \end{array}\right) .

Övning 22.19

En linjär avbildning \displaystyle F på rummet har i en positivt orienterad ON-bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} matrisen

Utred så detaljerat som möjligt \displaystyle F:s geometriska betydelse.

Övning 22.20

Ange den symmetriska matrisen för följande kvadratiska former

a) \displaystyle x^2_1+2x_1x_2+x_2^2 i \displaystyle {\bf R}^2 .

b) \displaystyle x^2_1-x_2^2-2x_1x_3-3x_2x_3 i \displaystyle {\bf R}^3 .

c) \displaystyle x^2_1+2x_1x_2+x_2^2 i \displaystyle {\bf R}^3 .

Övning 22.21

Skriv som polynom de kvadratiska former som har matriserna

Övning 22.22

Ekvationerna nedan är givna i \displaystyle {\bf R}^3 . Skriv dessa på kanonisk form och ange deras geometriska betydelse.

a) \displaystyle 5x_1^2+5x_2^2+5x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3=1 .

b) \displaystyle 2x_1^2+x_2^2-4x_1x_2-4x_2x_3=1 .

c) \displaystyle -x_1^2-x_2^2-x_3^2+2x_1x_2-2x_1x_3-2x_2x_3=1 .

Övning 22.23

Bestäm största och minsta värde av den kvadratiska formen

på enhetscirkeln \displaystyle x_1^2+x_2^2=1 och ange i vilka punkter extremvärdena antas.

Övning 22.24

Låt \displaystyle d vara avståndet från en punkt på kurvan

till origo. Rita kurvan i ett väl valt koordinatsystem. Vilka värden kan \displaystyle d anta? I förekommande fall ange de punkter där \displaystyle d antar sitt största respektive minsta värde.

Övning 22.25

Beskriv kurvan

Ange de punkter på kurvan som ligger närmast respektive längst bort från origo.

Övning 22.26

Visa att andragradskurvan i \displaystyle {\bf R}^2 , definierad av

betyder en ellips.

Ange också ellipsens area. Det anses känt att ellipsen \displaystyle \frac{x^2_1}{a^2}+\frac{x^2_2}{b^2}=1 har arean \displaystyle \pi ab .

Ange de punkter på kurvan som ligger närmast respektive längst bort från origo.

Övning 22.27

Låt \displaystyle d vara avståndet från en punkt på ytan

till origo. Vilka värden kan \displaystyle d anta? I förekommande fall ange de punkter där \displaystyle d antar sitt största respektive minsta värde.

Övning 22.28

Bestäm största resp. minsta värde som den kvadratiska formen

antar på enhetssfären \displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=1 och ange i vilka punkter extremvärdena antas.

Övning 22.29

Bestäm största och minsta värde av den kvadratiska formen

på enhetssfären \displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=1 och ange i vilka punkter extremvärdena antas.

Övning 22.30

Betrakta den kvadratiska formen

a) Uttryck \displaystyle Q i kanonisk bas.

b) Bestäm \displaystyle Q :s nollställen dels i den nya kanoniska basen och dels i den gamla basen.

c) Beskriv ytan

och bestäm ekvationen för ett plan som skär ytan under rät vinkel.

Övning 22.31

Bestäm en gemensam punkt till ytorna

                          x_1^2+x_2^2+x_3^2&=&1\end{array}

Övning 22.32

Lös systemet \displaystyle \left\{\begin{array}{rcl}y'_1(t)&=&y_1(t)+y_2(t)\\y'_2(t)&=&3y_1(t)-y_2(t)\end{array}\right. \quad\boldsymbol{y}(0)=\left(\begin{array}{r} 1\\0\end{array}\right) .

Övning 22.33

Lös begynnelsevärdesproblemet

Övning 22.34

Bestäm alla lösningar till systemet

                                    y'_2(t)&=&      &-&y_2(t)&-&2y_3(t)\\
                                    y'_3(t)&=&-2y_1(t)&-&2y_2(t)&&\end{array}\right.

Bestäm den speciella lösning som uppfyller \displaystyle y_{1}(0)=5 , \displaystyle y_{2}(0)=1 och \displaystyle y_{3}(0)=1 .

Övning 22.35

Antag att talföljderna \displaystyle a_n , \displaystyle b_n , \displaystyle n=1,2,\dots , uppfyller

där \displaystyle \left(\begin{array}{r}{a_0}\\{b_0}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}2\\3 \end{array}\right) . Beräkna \displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{6^n} \left(\begin{array}{r}{a_n}\\{b_n} \end{array}\right).

Övning 22.36

Betrakta differensekvationen

med begynnelsevillkoren \displaystyle a_0=0 och \displaystyle a_1=1 .

Beräkna \displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}a_n .