Slaskövning22
SamverkanLinalgLIU
Innehåll[göm] |
Övning 22.1
Låt 
123
a) ortogonal projektion i planet
b) spegling i planet
c) vridning 
21+2+3
d) vridning 1+2+3
Hämtar...
Övning 22.2
Låt 
1−22−102−111
a) Visa att 
1=1
1=1−11
b) Visa att 2=0−112
c) Visa att 3=23
Övning 22.3
Antag att
300130001
a) Bestäm egenvärdena till
b) Bestäm egenrummen till
Övning 22.5
Avbildningen 
R3−10021022−1
Bestäm en bas bestående av egenvektorer till
Övning 22.6
Låt =
1
23
1)=21+2F(2)=1+22F(3)=31+32+3Bestäm om möjligt en bas för rummet som består av egenvektorer till
Övning 22.7
Avbildningen \displaystyle F ges i plan ON-bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} av matrisen \displaystyle \left(\begin{array}{rrr} 2& -1 \\ 1 & 0\end{array}\right) . Bestäm egenvärden och egenvektorer till \displaystyle F . Finns det någon bas bestående av egenvärden och egenvektorer? Bestäm en ON-bas som innehåller så många egenvektorer som möjligt och bestäm \displaystyle F :s matris i denna bas.
Övning 22.8
Avgör om nedanstående matriser är diagonaliserbara och bestäm i så fall en matris \displaystyle T sådan att \displaystyle T^{-1}AT är en diagonalmatris:
| a) | \displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr} -3&-1&-1\\8&2&1\\-2&0&1\end{array}\right) | b) | \displaystyle A= \left(\begin{array}{rrr} 1&-3&4\\4&-7&8\\6&-7&7\end{array}\right) | c) | \displaystyle A= \left(\begin{array}{rrr} -1&3&-1\\-3&5&-1\\-3&3&1\end{array}\right) |
| d) | \displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr} 1&3&3\\3&1&3\\-3&-3&-5\end{array}\right) | e) | \displaystyle A= \left(\begin{array}{rrr} 3&-4&-4\\-1&3&2\\2&-4&-3\end{array}\right) |
Övning 22.9
Undersök diagonaliserbarheten hos matriserna
| a) | \displaystyle \begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix} | b) | \displaystyle \begin{pmatrix}0&1&1\\-1&0&1\\-1&-1&0\end{pmatrix} |
Övning 22.10
Den symmetriska avbildningen \displaystyle F:{\bf E^3}\rightarrow{\bf E^3} ges i en ON-bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} av matrisen
\left( \begin{array}{rrr} 1& 2& 3\\2 & 2& 2\\ 3& 2& 1\end{array}\right).
Bestäm en ON-bas bestående av egenvektorer till \displaystyle F .
Övning 22.11
Bestäm en ON-bas av egenvektorer till den linjära avbildning som i en viss ON-bas har matrisen
\left( \begin{array}{rrr} 0& 0& 1\\0 & 1& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right).
Övning 22.12
En linjär avbildning \displaystyle F på rummet har i ON-basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}= \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} matrisen
\left( \begin{array}{rrr} 3& 2& 2\\2 & 2& 0\\ 2& 0& a\end{array}\right).
a) Bestäm konstanten \displaystyle a så att \displaystyle \boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2-2\boldsymbol{e}_3 blir en egenvektor till \displaystyle F .
b) Finn för detta \displaystyle a en ON-bas av egenvektorer för rummet.
c) Ge exempel på en högerorienterad ON-bas i b).
Övning 22.13
Bestäm en bas för \displaystyle {\bf R}^3 , som består av egenvektorer till matrisen
\left( \begin{array}{rrr} 1& 2& 1\\2 & 1& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right).
och beräkna koordinaterna för vektorn \displaystyle (0,1,0)^t i denna bas av egenvektorer.
Övning 22.14
Vilken \displaystyle 3\times3 matris har egenvärden 1,3 och 4 hörande till egenvektorerna \displaystyle (1,2,1)^t , \displaystyle (1,0,-1)^t resp. \displaystyle (1,-1,1)^t .
Övning 22.15
Antag att \displaystyle F:{\bf E^2}\rightarrow{\bf E^2} är en linjär avbildning som i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} har avbildningsmatrisen
A_{\boldsymbol{e}}=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{rr}2&-1\\-1&2\end{array}\right).
a) Bestäm en bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} för \displaystyle E^2 bestående av egenvektorer till \displaystyle F .
b) Bestäm bassambandet samt sambandet mellan avbildningsmatriserna \displaystyle A_{\boldsymbol{e}} och \displaystyle A_{\boldsymbol{f}} .
c) Beräkna \displaystyle A_{\boldsymbol{e}}^{5} , \displaystyle A_{\boldsymbol{e}}^{-1} och \displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}A^n_{\boldsymbol{e}} .
Övning 22.16
Bestäm en ortogonal matris \displaystyle T sådan att \displaystyle T^tAT är en diagonalmatris, då
| a) | \displaystyle \begin{pmatrix}7&4\\4&13\end{pmatrix} | b) | \displaystyle \left( \begin{array}{rrr} -1&0&2\\0&1&-2\\2&-2&0\end{array}\right) |
| c) | \displaystyle \left( \begin{array}{rrr} 4&-2&-2\\-2&-5&7\\-2&7&-5\end{array}\right) | d) | \displaystyle \left( \begin{array}{rrrr}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\end{array}\right) |
Övning 22.17
En linjär avbildning \displaystyle F på rummet har i en viss ON-bas matrisen
A=\frac{1}{3}\left( \begin{array}{rrr} 1&2&0\\2&0&2\\0&2&-1\end{array}\right)
a) Bestäm en ON-bas för rummet bestående av egenvektorer till \displaystyle F .
b) Bestäm matrisen för avbildningen \displaystyle F^{1789} .
Övning 22.18
Bestäm en matris \displaystyle B sådan att \displaystyle B^2=\left(\begin{array}{rr} 5&4\\4&5 \end{array}\right) .
U 22.19 19.10
Övning 22.19
En linjär avbildning \displaystyle F på rummet har i en positivt orienterad ON-bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} matrisen
| a) | \displaystyle A_1=\frac{1}{3}\left( \begin{array}{rrr} 2&-1&-1\\-1&2&-1\\-1&-1&2\end{array}\right) | b) | \displaystyle A_2=\left( \begin{array}{rrr} -3&-2&-1\\2&-1&-1\\2&-2&0\end{array}\right) |
| c) | \displaystyle A_3=\frac{1}{3}\left( \begin{array}{rrr} 2&1&2\\-2&2&1\\-1&-2&2\end{array}\right) | d) | \displaystyle A_4=\frac{1}{6}\left( \begin{array}{rrr} -1&-2&-3\\2&4&6\\1&2&3\end{array}\right) |
