Slaskövning22

Övning 22.1

Låt O123 vara ett ON-system i rummet. Bestäm egenvärden och egenvektorer för den linjära avbildning som beskriver

a) ortogonal projektion i planet x1+x2+x3=0

b) spegling i planet x1+x2+x3=0

c) vridning 2 kring 1+2+3

d) vridning kring 1+2+3

Övning 22.2

Låt F vara en linjär avbildning på rummet med matrisen A=1−22−102−111.

a) Visa att 1=1 är ett egenvärde med tillhörande egenvektor 1=1−11 till F.

b) Visa att 2=0−11 är en egenvektor till F. Bestäm tillhörande egenvärde 2.

c) Visa att 3=2 är ett egenvärde till F och bestäm tillhörande egenvektor 3.

Övning 22.3

Antag att F är en linjär avbildning i rummet som har matrisen

300130001

a) Bestäm egenvärdena till F.

b) Bestäm egenrummen till F.

Övning 22.4

Bestäm en bas för R3 av egenvektorer till matrisen

−9−3−3−48−4−5−57

Övning 22.5

Avbildningen F:R3R3 ges i basen av matrisen −10021022−1.

Bestäm en bas bestående av egenvektorer till F.

Övning 22.6

Låt =123 vara en bas för rummet. En linjär avbildning F på rummet ges av

F(1)=21+2F(2)=1+22F(3)=31+32+3

Bestäm om möjligt en bas för rummet som består av egenvektorer till F.

Övning 22.7

Avbildningen F ges i plan ON-bas av matrisen 21−10 . Bestäm egenvärden och egenvektorer till F. Finns det någon bas bestående av egenvärden och egenvektorer? Bestäm en ON-bas som innehåller så många egenvektorer som möjligt och bestäm F:s matris i denna bas.

Övning 22.8

Avgör om nedanstående matriser är diagonaliserbara och bestäm i så fall en matris T sådan att T−1AT är en diagonalmatris:

a)

A=−38−2−120−111

b)

A=146−3−7−7487

c)

A=−1−3−3353−1−11

d)

A=13−331−333−5

e)

A=3−12−43−4−42−3

Övning 22.9

Undersök diagonaliserbarheten hos matriserna

a)

1011

b)

0−1−110−1110

Övning 22.10

Den symmetriska avbildningen F:E3E3 ges i en ON-bas av matrisen

123222321

Bestäm en ON-bas bestående av egenvektorer till F.

Övning 22.11

Bestäm en ON-bas av egenvektorer till den linjära avbildning som i en viss ON-bas har matrisen

001010100

Övning 22.12

En linjär avbildning F på rummet har i ON-basen ==123 matrisen

32222020a

a) Bestäm konstanten a så att 1+22−23 blir en egenvektor till F.

b) Finn för detta a en ON-bas av egenvektorer för rummet.

c) Ge exempel på en högerorienterad ON-bas i b).

Övning 22.13

Bestäm en bas för R3, som består av egenvektorer till matrisen

121211112

och beräkna koordinaterna för vektorn (010)t i denna bas av egenvektorer.

Övning 22.14

Vilken 33 matris har egenvärden 1,3 och 4 hörande till egenvektorerna (121)t, (10−1)t resp. (1−11)t.

Övning 22.15

Antag att F:E2E2 är en linjär avbildning som i basen har avbildningsmatrisen

A=312−1−12 

a) Bestäm en bas för E2 bestående av egenvektorer till F.

b) Bestäm bassambandet samt sambandet mellan avbildningsmatriserna A och A.

c) Beräkna A5, A−1 och limnAn.

Övning 22.16

Bestäm en ortogonal matris T sådan att TtAT är en diagonalmatris, då

a)

74413

b)

−10201−22−20