FörberedandeFysik

Isotopen \displaystyle ^{199}\mbox{Pt} (platina) sönderfaller. Antalet kärnor \displaystyle N vid tiden \displaystyle t ges av \displaystyle N = N_0e^{-\lambda t} där \displaystyle \lambda är en materialkonstant. Vidare vet vi att antalet sönderfall per tidsenhet ges av \displaystyle R = \lambda \cdot N

Vi behöver ett värde på materialkonstanten \displaystyle \lambda. Vi har fått halveringstiden, vi kan alltså sätta upp nedanstående samband

\displaystyle N(T_{1/2}) = N_0e^{-\lambda T_{1/2}}

\displaystyle N(T_{1/2}) = \displaystyle\frac{N_0}{2}

Sammansatt ger detta oss

\displaystyle N_0e^{-\lambda T_{1/2}} = N_0 \cdot\displaystyle\frac{1}{2}

\displaystyle \Rightarrow e^{-\lambda T_{1/2}} = \displaystyle\frac{1}{2}

\displaystyle \Rightarrow -\lambda T_{1/2} = \ln{\displaystyle\frac{1}{2}}

\displaystyle \Rightarrow \{ \mbox{logartimlagen } \ln(a/b) = \ln a - \ln b \mbox{ med } a= 1, \ln a = 0 \mbox{ ger} \}

\displaystyle \Rightarrow \lambda T_{1/2} = \ln 2

\displaystyle \Rightarrow \lambda = \displaystyle\frac{\ln{2}}{T_{1/2}}

För platina \displaystyle ^{199}\mbox{Pt} har vi alltså \displaystyle \lambda_{199\,\textrm{Pt}} = \displaystyle\frac{\ln2}{30{,}6 \cdot 60} \mbox{s}^{-1} \approx 3,7753\cdot10^{-4} \mbox{s}^{-1}

Nu kan vi titta på frågeställningarna igen...

\displaystyle R = \lambda N \Rightarrow N_0 = \displaystyle\frac{R_0}{\lambda} = \displaystyle\frac{7,56\cdot 10^{11}}{\ln2/(30{,}6 \cdot 60)} \approx 2{,}00\cdot 10^{15} \mbox{st}

Efter tiden 92,5 minuter har vi

\displaystyle N_{92{,}5} = N_0 e^{-\lambda t} = 2{,}00\cdot 10^{15}\cdot e^{-\displaystyle\frac{\ln2\cdot 92{,}4 \cdot 60}{30{,}6 \cdot 60}} \approx 2{,}46\cdot 10^{14} \mbox{st}

Aktiviteten vid tiden 92,5 fås som

\displaystyle R_{92{,}5} = \lambda N_{92{,}5} = \displaystyle\frac{\ln2}{30{,}6 \cdot 60}\cdot 2{,}46\cdot 10^{14} \mbox{Bq} \approx 9{,}45\cdot 10^{10} \mbox{Bq}