FörberedandeFysik

Teori

Övningar

FÖRFATTARE: Göran Karlsson, KTH Mekanik

Vektorbegreppet

I fysiken använder man sig av samband (formler) mellan fysikaliska storheter.

En storhet är en egenskap som kan mätas eller beräknas.

Vissa storheter har enbart storlek; en sådan storhet kallas skalär. Andra storheter har både storlek och riktning; en sådan storhet kallas vektor.

Vektorer kan betecknas på några olika sätt; med fet symbol: a, med pil över: \displaystyle \vec{a}, med streck över: \displaystyle \bar{a} eller med streck under: \displaystyle \underline{a}. I fortsättningen använder vi fet symbol: a.

Storheter som inte har vektoregenskap anges med kursiv stil: a eller \displaystyle {a} (det finns ju faktiskt två olika sätt att skriva a eller \displaystyle {a}, liksom det beroende på typsnitt finns två sätt att skriva g).

En vektor kan multipliceras med ett reellt tal, varvid den blir lika många gånger större (eller mindre om talet är mindre än 1). Multiplikation med ett negativt tal vänder om vektorns riktning:

Resultant och komposant

Krafter som verkar i samma punkt kan sammansättas till en resultant. En kraft som ligger till grund för en sådan sammansättning kallas komposant:

Ovan är således a och b komposanter samt c = a + b resultant.

Omvänt kan en kraft uppdelas i komposanter. En speciellt användbar uppdelning får man om man använder rätvinkliga komposanter: I fortsättningen behandlar vi enbart vektorer i xy-planet dvs i två dimensioner. Men det är naturligt att utveckla vektorbegreppet till rummet dvs tre dimensioner och även till ännu högre dimensioner. Vi kommer att använda oss av den tredje dimensionen i samband med moment (se avsnitt 2.4).

\displaystyle \mbox{${\bf a} = {\bf a}_x + {\bf a}_y \qquad {\bf b} = {\bf b}_x + {\bf b}_y \qquad {\bf c} = {\bf c}_x + {\bf c}_y = {\bf a} + {\bf b} = ({\bf a}_x + {\bf b}_x) + ({\bf a}_y + {\bf b}_y)$ }

Längd av vektor och enhetsvektor

Vi inför nu längden (även kallad beloppet) \displaystyle \mbox{$a$} av vektorn \displaystyle {\bf a} som \displaystyle \mbox{$a = |\,{\bf a}\,|$}.

Inför nu också enhetsvektorerna \displaystyle \mbox{${\bf e}_x$} och \displaystyle \mbox{${\bf e}_y$} som har egenskapen att deras längd är 1 och att de är parallella med x- resp. y-axeln:

\displaystyle \mbox{$|\,{\bf e}_x\,| = 1$} \qquad\qquad \mbox{$|\,{\bf e}_y\,| = 1$}

Komponenter

Samtidigt inför vi komponenten \displaystyle \mbox{$a_x$} av vektorn \displaystyle {\bf a} som den rätvinkliga projektionen av vektorn \displaystyle {\bf a} på x-axeln dvs:

\displaystyle \mbox{$a_x = a \cos \alpha$}

På motsvarande sätt införs komponenten \displaystyle \mbox{$a_y$} av vektorn \displaystyle {\bf a} som den rätvinkliga projektionen av \displaystyle {\bf a} på y-axeln dvs: \displaystyle \mbox{$a_y = a \sin \alpha$}

Den rätvinkliga projektionen på en axel framgår av figuren ovan, när man drar en linje vinkelrät mot axeln till vektorns spets. Om fotpunkten inte går genom origo, drar man på samma sätt en linje vinklerät mot axeln genom vektorns fotpunkt. Avståndet på axeln mellan de två dragna linjerna (eller mellan origo och den dragna linjen) är då vektorns projektion på axeln.

Observera att följande gäller:

\displaystyle \begin{array}{lll} \mbox{$\alpha=0$:}\qquad & \mbox{$\sin\alpha=0$}\qquad & \mbox{$\cos\alpha=1$} \\ \mbox{$0<\alpha<\frac{\pi}{2}$:}\qquad & \mbox{$\sin\alpha>0$}\qquad & \mbox{$\cos\alpha>0$} \\ \mbox{$\alpha=\frac{\pi}{2}$:}\qquad & \mbox{$\sin\alpha=1$}\qquad & \mbox{$\cos\alpha=0$} \\ \mbox{$\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$:}\qquad & \mbox{$\sin\alpha>0$}\qquad & \mbox{$\cos\alpha<0$} \\ \mbox{$\alpha=\pi$:}\qquad & \mbox{$\sin\alpha=0$}\qquad & \mbox{$\cos\alpha=-1$} \\ \mbox{$\pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}$:}\qquad & \mbox{$\sin\alpha<0$}\qquad & \mbox{$\cos\alpha<0$} \\ \mbox{$\alpha=\frac{3\pi}{2}$:}\qquad & \mbox{$\sin\alpha=-1$}\qquad & \mbox{$\cos\alpha=0$} \\ \mbox{$\frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi$:}\qquad & \mbox{$\sin\alpha<0$}\qquad & \mbox{$\cos\alpha>0$} \\ \mbox{$\alpha=2\pi=0$} \end{array}

Vi ser då att
\displaystyle \mbox{${\bf a}_x = a_x {\bf e}_x = a \cos \alpha\,\,{\bf e}_x $}

\displaystyle \mbox{${\bf a}_y = a_y {\bf e}_y\,= a \sin \alpha\,\,{\bf e}_y $}

Komposanten \displaystyle \mbox{${\bf a}_x$} kan således uttryckas med hjälp av komponenten \displaystyle \mbox{$a_x$}. Motsvarande gäller för komposanten \displaystyle \mbox{${\bf a}_y$}.

När enhetsvektorn \displaystyle \mbox{${\bf e}_x$} används för att bilda en komposant brukar kallas basvektor. Motsvarande gäller för basvektorn \displaystyle \mbox{${\bf e}_y$}.

Vi kan alltså skriva vektorn \displaystyle {\bf a} med hjälp av basvektorerna \displaystyle \mbox{${\bf e}_x$} och \displaystyle \mbox{${\bf e}_y$}:

\displaystyle \mbox{${\bf a} = {\bf a}_x + {\bf a}_y = a_x {\bf e}_x + a_y {\bf e}_y = a \cos \alpha\,\,{\bf e}_x + a \sin \alpha\,\,{\bf e}_y$}

Om vi alltid räknar vinkeln positiv moturs från x-axeln hamnar den i vårt fall även för vektorn \displaystyle {\bf b} så att sinus för vinkeln blir > 0 och cosinus för vinkeln > 0.

\displaystyle \mbox{${\bf b} = {\bf b}_x + {\bf b}_y = b_x {\bf e}_x + b_y {\bf e}_y = b \cos \beta\,\,{\bf e}_x + b \sin\beta\,\,{\bf e}_y$}

Således får vi

\displaystyle \mbox{${\bf c} = {\bf c}_x + {\bf c}_y = c_x {\bf e}_x + c_y {\bf e}_y = c \cos\gamma\,\,{\bf e}_x + c \sin\gamma\,\,{\bf e}_y = $}

\displaystyle \mbox{$= a_x {\bf e}_x + a_y {\bf e}_y + b_x {\bf e}_x + b_y {\bf e}_y = a_x {\bf e}_x + b_x {\bf e}_x + a_y {\bf e}_y + b_y {\bf e}_y = $}

\displaystyle \mbox{$= (a_x + b_x)\,{\bf e}_x + (a_y + b_y)\,{\bf e}_y = (a \cos\alpha + b \cos\beta)\,{\bf e}_x + (a \sin\alpha + b \sin\beta)\,{\bf e}_y$}

Således är

\displaystyle \mbox{${\bf c} = {\bf c}_x + {\bf c}_y = ({\bf a}_x + {\bf b}_x) + ({\bf a}_y + {\bf b}_y) $}

\displaystyle \begin{array}{rlrl} \mbox{${\bf c}_x $} & \mbox{$=\quad{\bf a}_x + {\bf b}_x $} & \mbox{${\bf c}_y $} & \mbox{$=\quad{\bf a}_y + {\bf b}_y $} \\ \mbox{$ c \cos\gamma $} & \mbox{$=\quad a \cos\alpha + b \cos\beta $}\qquad\qquad & \mbox{$c \sin\gamma $} & \mbox{$=\quad a \sin\alpha + b \sin\beta $} \end{array}

I stället för att skriva ut a med basvektorerna \displaystyle \mbox{${\bf a} = a_x{\bf e}_x + a_y{\bf e}_y$} eller \displaystyle \mbox{${\bf a} = a \cos \alpha\,\,{\bf e}_x + a \sin\alpha\,\,{\bf e}_y$} så skriver man kortare \displaystyle \mbox{${\bf a} = (a_x,\,a_y)$} eller \displaystyle \mbox{${\bf a} = (a \cos\alpha,\,a \sin\alpha)$} med kommatecken mellan komponenterna.

Vid heltal har man inga problem med denna notation: \displaystyle \mbox{${\bf a} = (5,\,7)\,m/s^2 $} men vid decimaltal byter man ut kommatecknet mot semikolon: \displaystyle \mbox{${\bf a} = (4,2;\,3,8)\, m/s^2 $}

Nollvektorn

Nollvektorn \displaystyle \mbox{${\bf 0} = (0, 0) $} har längden 0. Den är den enda vektor som saknar riktning.