FörberedandeFysik

Teori

Övningar

FÖRFATTARE: Göran Karlsson, KTH Mekanik

Jämvikt

I avsnitt 2.1 mötte vi Newtons andra lag \displaystyle \mathbf{F} = m\mathbf{a}. Om nu alla krafter som verkar på en kropp adderas så att resultanten \displaystyle \mathbf{F} = \mathbf{0}. Då blir även accelerationen \displaystyle \mathbf{a} = \mathbf{0}. Men om ingen acceleration finns och kroppen befinner sig i vila, så har den hastigheten \displaystyle \mathbf{0}, dvs den skulle inte röra på sig.

Så är det också för en partikel, men för en kropp är det masscentrum för kroppen som har hastigheten \displaystyle \mathbf{0}, om krafternas resultant är \displaystyle \mathbf{0}. Det behövs således något mer för att kroppen ska vara i vila, för även om dess masscentrum är i vila, så kan den rotera.

Det är kraftmomentet som ger upphov till rotation. För att inte kroppen ska rotera måste således även summan av alla kraftmoment med avseende på någon punkt, t ex origo, vara \displaystyle \mathbf{0}: \mathbf{M}_O = \mathbf{0}.

Man kan visa att om \displaystyle \mathbf{F} = \mathbf{0} och \displaystyle \mathbf{M}_O = \mathbf{0} så är även totala kraftmomentet med avseende på alla andra punkter även \displaystyle \mathbf{0}, t ex med avseende på masscentrum \displaystyle G:\, \mathbf{M}_{G} = \mathbf{0} eller med avseende på en godtycklig punkt \displaystyle A:\, \mathbf{M}_{A} = \mathbf{0}.

Vi har således två villkor som är nödvändiga för jämvikt:

1) Resultanten till krafterna måste vara noll: \displaystyle \mathbf{F} = \mathbf{0}. Om så inte är fallet börjar kroppen röra sig åt något håll.

2) Summan av kraftmomenten med avseende på någon godtycklig punkt \displaystyle A måste vara noll: \displaystyle \mathbf{M}_A = \mathbf{0}.

Friktion

När två kroppars ytor glider mot varandra uppstår friktion genom att ojämnheter i de båda ytorna hakar i varandra. Även om ytorna skulle vara helt jämna så finns en liten friktion kvar genom elektromagnetiska krafter och olika kemiska krafter mellan molekylerna i de båda materialen.

Friktionskraften märks först när kroppen påverkas av en kraft, så att den skulle börjat glida om friktion ej funnits. Trycker man på en kropp med en kraft som är parallell med den yta kroppen vilar på, så ökar friktionskraften till dess kroppen börjar glida och accelerera. Man säger då att friktionen är fullt utbildad och då är inte kraftsumman längre noll, utan \displaystyle \mathbf{a} = \mathbf{F}/m, där \displaystyle \mathbf{F} är kraftresultanten.

När friktionen är fullt utbildad så är friktionskraften \displaystyle f = \mu N där \displaystyle N är normalkraften, vilken är vinkelrät mot underlaget. Konstanten \displaystyle \mu är en materialegenskap som är beroende av de två materialen, som är i kontakt med varandra. Observera att samband mellan friktions- och normalkraft inte kan skrivas som ett vektorsamband eftersom \displaystyle \mathbf{f} och \displaystyle \mathbf{N} är vinkelräta mot varandra.

Just när kroppen skall börja glida är fortfarande kraftresultanten \displaystyle \mathbf{F} = \mathbf{0} men friktionen är samtidigt just i detta ögonblick fullt utbildad, fastän kroppen inte glider. Just i detta ögonblick är kroppen på gränsen till glidning och då gäller således samtidigt \displaystyle F = 0 och \displaystyle f = \mu N. Innan friktionen är fullt utbildad gäller i stället \displaystyle F = 0 och \displaystyle f < \mu N.

Det är lätt att tro att friktion alltid är av ondo. Vi vet ju t ex att friktion mellan kroppar som rör sig leder till värmeförluster och slitage. Men om inte friktion funnes skulle vi inte kunna gå (prova att gå på en spegelblank is) och inte kunna resa en stege mot en vägg. Så det är tillämpningen som avgör om friktionen är vår fiende eller vän.

Hydrostatik

Tryck är \displaystyle \displaystyle \frac{tryckkraften\:vinkelrät\:mot\:en\:yta}{ytans\:area} . Tryck är således kraft/yta, så enheten blir \displaystyle \mathrm{N/m^{2}} som har fått ett eget namn: pascal, Pa. Eftersom trycket normalt blir mycket stort, används mestadels enheten kPa (kilopascal).

I en vätska ökar trycket med djupet enligt formeln \displaystyle p = \rho gh, där \displaystyle p är övertrycket, \displaystyle \rho är densiteten (mäts i \displaystyle \textrm{kg/m}^3), \displaystyle g är tyngdaccelerationen samt \displaystyle h är djupet. Det tryck man får på djupet \displaystyle h med denna formel är övertrycket eftersom till vätskepelarens tryck \displaystyle p ska man addera lufttrycket (luften trycker ju ovanpå vätskeytan).

När ett föremål sänks ner i en vätska påverkas den förutom av tyngdkraften även av en lyftkraft. Storleken av denna lyftkraft får man med Arkimedes' princip: Lyftkraften \displaystyle L på en kropp nersänkt i en vätska är lika stor som tyngdkraften för den vätskemängd som kroppen tränger undan: \displaystyle L = V \rho g, där \displaystyle L är lyftkraften, \displaystyle V undanträngda vätskans volym och \displaystyle \rho dess densitet.