FörberedandeFysik

Teori

Övningar

FÖRFATTARE: Christer Johannesson & Lars-Erik Berg, KTH Fysik

Växelström

Det finns ett antal sätt att överföra elektisk energi på. Vanligast är att föra över den i form av en- eller trefas växelström.

I vårt dagliga liv använder vi oss av utrustning som drivs med växelström. Med några få undantag överförs energi på långa avstånd med hjälp av växelström eller trefas växelström.

För ca 100 år sedan var det vanligt med likströmsöverföring. Överföring av högspänd likström görs fortfarande på kablar som är långa och ligger på havsbotten (exempelvis kablar till Gotland och till Polen). Ända in på 1950-talet fanns det områden i Stockholm som endast försågs med likström.

Nackdelen med likströmsnät är att hela nätet måste ha samma spänning. Det går att komma runt problemet genom att låta likströmmen få driva en motor som i sin tur driver en generator som genererar en annan likspänning. På användarsidan om kabeln kan man ha en så kallad växelriktare som omvandlar likström till växelström. Arrangemanget är dyrt, skrymmande och har relativt sett låg verkningsgrad jämfört med "rent" växelströmssystem där det går att transformera växelströmmen till en praktiskt taget godtycklig spänning utan några större förluster.

Överföring av växelström över långa avstånd fordrar en teknik som minimerar de elektriska förlusterna.

Värmeeffekten som utvecklas i ledningarna är lika med strömmen i kvadrat gånger ledningarnas resistans. Höjer man spänningen på det elektriska nätet så minskar strömmen i motsvarande grad för en given överföringseffekt. Är ledningarna grova blir resistansen låg och därmed även förlusterna låga. Med grova ledningar blir det också möjligt att överföra stora effekter. För överföring på långa sträckor används 400 kV spänning.

För att få det 400/230 V system vi har på förbrukarnivå, dvs i hemmen, på företag och för andra slutanvändare behöver den höga spänningen transformeras till en lägre spänning. Förr hade vi 380/220 V trefas medan man nu har den internationellt överenskomna spänningen 400/230 V. Nedtransformeringen av spänningen sker vanligtvis i många steg på vägen till förbrukaren (kunden).

Jordade elsystem

När man har höga spänningar behövs ett så kallat jordat elsystem.

Idén är att man på elektriska apparater med elektriskt ledande höljen lägger potentialen (spänningen) på höjet på samma nivå som exempelvis värmeelement, vattenkranar, diskbänkar m.m. Idén är att ha punkter eller föremål som har samma potential. Kommer dessa föremål i kontakt med varandra så får vi ingen ström att gå mellan föremålen. Vi har med andra ord fått ett säkert elektriskt system.

Trefas växelström

Skulle man välja att överföra ström med exempelvis tre separata jordade system så behövs sammanlagt nio (eller minst 6) ledare. Fördelen med ett sådant system kan vara att det inte fordras någon "synkronisering" eller något inbördes förhållande mellan växelspänningarna.

Ett effektivare överföringssystem är det vi kallar trefas växelström.

De tre faserna kan ha en gemensam ledare (återledare) om faserna är synkroniserade (d.v.s. står i ett fixt förhållande till varandra). Vid så kallad symetrisk belastning, lika belastning för faserna, kommer strömmen i återledaren att bli noll.

Med ett trefassystem kan man överföra samma effekt och lika säkert med fem ledare i stället för nio (eller 6) med ett system med tre "osynkroniserade" spänningar.

Fördelen med systemet är också att trefasmotorer blir mycket enkla till sin konstruktion, motorer får lång livslängd eftersom inga förslitningsdelar behöver ingå (förutom lager till axeln) och dessa apparater får hög verkningsgrad. För trefasmotorer är livslängden endast beroende av lagrens hållbarhet och att motorn inte överbelastas så mycket att den ökande värmeutvecklingen i motorn förstör ledningarnas isolering.

I ett 400/230 V system har man 230 V mellan fas och "nollan" (den gemensamma återledaren) och 400 V mellan faserna. Dessa spänningar är effektivvärden.

230 V är den spänning man vanligtvis har i väggkontakter, medan mer effektkrävande utrustning kopplas till till trefas 400/230 V system.

Faserna i ett trefassystem kallas \displaystyle L1,L2 och \displaystyle L3 eller \displaystyle L_1,L_2 och \displaystyle L_3. Till detta kommer återledaren, N, som det idealt sett aldrig går någon ström i.

Dessa faser ligger 120° fasförskjutna i förhållande till varandra.

Induktans och kapacitans

Induktans är en egenskap hos elektriska komponenter som innebär att elektrisk energi lagras upp i komponenten i form av ett magnetfält. Induktans har med tiden blivit en alltmer använd benämning på den typ av komponent som tidigare kallades induktor. I dagligt tal brukar dessa komponenter kallas spolar.

Induktans mäts i enheten Henry (H). Då 1 H är en mycket stor induktans använder man sig oftast av milliHenry, mH.

Enkelt uttryckt kan man säga att en induktans strävar efter att förhindra att strömmen genom den ändras. Det innebär att höga frekvenser dämpas mera än låga frekvenser. Induktanser används därför ofta i elektriska filter.

Stora induktanser är tunga och utrymmeskrävande på grund av att de lindas runt järnkärnor. Det är också svårt att producera induktanser med god noggrannhet. Därför har man i modern elektronik ofta ersatt induktanserna med kapacitivt återkopplade operationsförstärkare, vilka ger kretsen ungefär samma egenskaper.

Exempel på andra elektriska komponenter som har stor induktans är motorer och transformatorer (som ju båda innehåller spolar runt järnkärnor).

Kapacitans, C, är förmågan att lagra elektrisk laddning, den utmärkande egenskapen för en elektrisk kondensator. Ordet kapacitans används även ibland istället för ordet kondensator. Kapacitans mäts i enheten farad (F) som är en coulomb (amperesekund) per volt.

För kondensatorer med kapacitansen \displaystyle C gäller att \displaystyle Q = CU, där \displaystyle Q är kondensatorns laddning och \displaystyle U spänningen över kondensatorn.

Växelspänningseffekt och impedans

Frekvens

Frekvensen \displaystyle f beskriver hur många gånger per tidsenhet som en ström växlar polaritet, normalt mäter vi i enheten \displaystyle 1 \mathrm{Hz} = 1 \mathrm{s}^{-1}.

Vid energiöverföring har man fasta frekvenser där alla elverk som är hopkopplade jobbar synkront med exakt samma frekvens. Det finns en internationell standard som förespråkar \displaystyle f = \mathrm{50} Hz. Det är vad vi har i Europa. I vissa fall som t.ex. för svensk järnvägstrafik, väljer man att omforma den till \displaystyle 16\frac{2}{3} \mathrm{Hz}.

I Amerika har man valt en annan frekvens, \displaystyle f = 60 \mathrm{Hz}, för energiöverföring. Där är också i de allra flesta fallen systemspänningen vid enfas 110-120 V. Trefas är inget man kopplar in till hushållen där.

Slutligen används olika frekvenser för informationsöverföring, man pratar bland annat om bärvåg som är den frekvensen som informationen är in närheten av. Exempel på bärvågar är 92,40 MHz (P1), 900 MHz för mobiltelefoni, 100 MHz för datakommunikation mm.

I grafen ovan syns en växelspänning med frekvensen 4 Hz. På 1 sekund hinner vi med fyra hela svängningar. Så låga frekvenser används i princip aldrig.

Vinkelfrekvens \displaystyle \omega

Inom elläran har det visat sig praktiskt att istället räkna med hur många radianer per sekund strömmen ändrar sig. Eftersom det på ett varv går \displaystyle 2\pi radianer får vi sambandet mellan antalet radianer per sekund \displaystyle \omega och frekvens \displaystyle f som

\displaystyle \omega = 2\pi \cdot f

Impedans

Ohms lag gäller egentligen för det totala motståndet, \displaystyle Z. Vi kallar det impedans. I likspänningsfallet är \displaystyle Z alltid lika med \displaystyle R, så är det inte när vi har växelspänning!

Ohms lag lyder alltså från och med nu \displaystyle U = Z\cdot I

Resistans
Motstånd har en resistans \displaystyle R\Omega, resistansen beskriver hur mycket ström som kan strömma genom motståndet.

På motsvarande sätt har även spolar och kondensatorer motstånd fast dessa beror på vilken frekvens strömmen genom dem har.

För en spole betecknar vi detta motstånd med \displaystyle X_L, och den beror av frekvensen enligt följande.

\displaystyle X_L = \omega L, enhet \displaystyle 1\Omega

För en kondensator finner vi på samma sätt för \displaystyle X_C sambandet

\displaystyle X_C = \frac{1}{\omega C}, enhet \displaystyle 1\Omega

Impedans hos seriekopplade komponenter - Visardiagram

En modell för att räkna ut den sammansatta impedansen är att använda visardiagram i Z-planet med en R- och en X-axel. Impedanskomponenterna ovan har då följande riktningar

\displaystyle R - riktat positivt i R-led
\displaystyle X_L - riktat positivt i X-led
\displaystyle X_C - riktat negativt i X-led

Exempel 1

Vi tittar på tre resistorer och söker den sammanlagda impedansen.

Vi ritar in komponenternas impedanser i visardigrammet som ett polygontåg. Resultanten Z är den totala impedansen som i detta fall även är en resistans eftersom den inte har någon vinkel mot R-axeln.

Vi finner att \displaystyle R = R_1 + R_2 + R_3, i detta fall var det onödigt att använda visardiagrammet! Impedansen visade sig vara rent resistiv.

Exempel 2

Vi tittar på en spole, en resistor och en kondensator och söker den sammanlagda impedansen.

Vi ritar in komponenternas impedanser i vårt visardiagram nedan, denna gång går inte alla åt samma håll.

Vi inser att vi med hjälp av Pythagoras sats enkelt får summan som

\displaystyle Z = \sqrt{((X_L - X_C)^2 + R^2}

Enheten är \displaystyle 1 \Omega.

Fasvinkel \displaystyle \phi

Från andra exemplet ovan inser vi att \displaystyle Z inte alltid är riktat i R-riktningen. Vi brukar kalla vinkeln mellan \displaystyle Z och R-axeln för fasvinkel. Fasvinkeln betecknas ofta med \displaystyle \phi.

I en växelströmskrets kan det vara så att ström och spänning ligger i ofas, strömmens toppar kommer fram innan spänningens toppar eller tvärt om. I bilden nedan är det egentligen ström respektive spänning på y-axeln. X-axeln är graderad i radianer.

El kan i grunden användas till två saker, att föra över information och att föra över energi.

När man för över information är denna fasförskjutning ofta önskad, exempelvis är det ofta så att det är fasvinkeln som är informationsbäraren. Med en viss vinkel överför man tecknet "1", med en annan vinkel tecknet "2" och så vidare. Vanligen väljer man att överföra två, fyra eller sexton tecken med hjälp av olika fasförskjutningar vid digital sändning.

När man för över energi är fasförskjutningen en nackdel, den användbara energin är nämlingen bara den delen som är resistiv, alltså motsvarar resistorbelastning. Den del som motsvarar belastningar från spolar och kondensatorer innebär att man måste överdimensionera sin anläggning för att kompensera för den. I praktiken finns det i våra elnät mest spolar, de kan t.ex. bestå av lindningar på elmotorer eller spolar i lysrörsarmaturer. Elnätsägarna har kondensatorer (\displaystyle X_C är ju negativt riktat jämfört med \displaystyle X_L) som de kan koppla in för att minska fasvinkeln.

Effekt
Effekt är energiförbrukning per tidsenhet, vid växelström pratar man om tre olika effekter

\displaystyle P är den aktiva effekten, den som vi vill ha.
\displaystyle Q är den reaktiva effekten, den som beror på att det finns spolar och kondensatorer i kretsen.
\displaystyle S är den skenbara effekten, den som verkar finnas.

Alla dessa har egentligen enheten 1W men för att skilja dem åt väljer man ibland att för den reaktiva effekten skriva enheten 1var och för den skenbara effekten skriver man 1VA . Den aktiva effekten får behålla 1W.

Ibland väljer man att beteckna den effekt man har med \displaystyle P oberoende av vilken typ av effekt det egentligen är. Se upp när det står \displaystyle P alltså!

Den effekt som verkar finnas och som beror på impedansen är \displaystyle S, den beräknas som

\displaystyle S = U\cdot I = \frac{U^2}{R}

Om vi lägger in den i visardiagrammet nedan finner vi från trigometrin uttrycken för \displaystyle P och \displaystyle Q.

\displaystyle P = U\cdot I\cdot\cos\phi
\displaystyle Q = U\cdot I\cdot\sin\phi
\displaystyle S = U\cdot I

Exempel 3

En hårtork märkt \displaystyle P = 300W, \displaystyle \phi = 20^\circ, kopplas till elnätet. Hur stor blir strömmen?

Vi har fått den aktiva effekten och kan alltså utgå från sambandet för \displaystyle P ovan. Vi vet att spänningen i ett vägguttag är \displaystyle 230V.

\displaystyle P = U\cdot I\cdot\cos\phi, vi stuvar om det lite för att passa oss och får

\displaystyle I = \frac{P}{U\cos\phi}= \frac{300}{230\cdot \cos 20^\circ} \approx 1,4 \mathrm{A}

Elsäkerhet

Hos allmänheten finns vanligtvis en stor respekt för växelström och trefas växelström.

Många har kanske inte själva kommit i kroppslig kontakt med högspänd ström utan endast hört talas om att någon har råkat illa ut, vilket är tillräckligt för att en sund respekt för ström finns.

Eftersom olyckor i samband med ström ofta har dödlig utgång och att elfel kan orsaka brand m.m. är bestämmelser om hur elektrisk utrustning ska vara konstruerad mycket detaljerad. Det finns både nationella föreskrifter och bindande internationella överenskommelser om elsäkerhet.

För överföring på långa avstånd finns regler om hur ledningar ska vara förlagda. Det finns också regler för hur ledningar får dras i tätbebyggda områden.

Man tar inte bara hänsyn till hur stora elektriska fälten blir för boende utan också för hur stora de magnetiska fälten kan bli. De magnetiska fältens styrka är beroende av hur belastat det elektriska ledningarna är, eftersom det är strömmen som ger upphov till magnetfält.

Elektriska nät för industri och hushåll har oftast en spänning på 400/230 V. 400 V är huvudspänningen i trefasnät, medan 230 V är fasspänningen i ett trefasnät. 230 V är också den mest förekommande spänningen för vägguttag i hem, industri och andra ställen såsom skolor och serviceställen för allmänheten. Där det finns tillgång till trefas växelström tar man och fördelar strömmen från de olika faserna så att en så jämn belastning som möjligt kan fås på de olika faserna.

Det finns bestämmelser om hur tjock och vilken typ av isolering som får användas i olika sammanhang. För utomhusbruk ska det vara material som tål nötning, inte bli spröd och trillar av vid låga temperaturer, tål regn och väta m.m. För en del verkstäder finns krav om beständighet mot lösningsmedel och oljor.

Det finns också bestämmelser om hur grova ledarnas tvärsnittsarea ska vara, vilket beror på hur hög ström som ska överföras.

Två synpunkter finns vid bestämningen av hur stor arean på ledarna ska vara. Den ena är att värmeutvecklingen kan bli för stor om ledaren är för klen (liten tvärsnittsarea på ledaren). Den andra är att det kan bli stora spänningsförluster om ledaren är klen och dessutom är lång.

Värmeutvecklingen kan ge upphov till eld och spänningsfall gör att maskiner och utrustning får för låg spänning och inte ger den effekt som kan behövas för ett användningsområde eller att funktion blir osäker.

Säkring av elsystem

För att undvika brand om en elektrisk utrustning går sönder eller att en utrustning förstörs på grund av för hög ström är det nödvändigt att säkra det elektriska systemet.

Det finns i stort sett endast två typer av säkringar. Den ena är smältsäkringar, som finns i praktiskt taget varje hus runt om i världen där elektricitet är indragen. Den andra är magnetisk brytare.

Smältsäkringar fungerar genom att en tunn tråd smälter av då strömmen blir för hög. Tråden ligger inbäddad i fin sand som tar hand om det smälta materialet så att inte någon skada kan ske. Sanden har också en förmåga att fördröja avsmältningen genom att den i viss mån kyler av tråden.

Speciellt större motorer och transformatorer har en startström som ofta är fem till tio gånger högre än strömmen då motorn går och är belastad. Medan mindre motorers startström är så låg att det inte blir problem med säkringarna. Startströmmen varar bara någon bråkdel av en sekund (ibland någon sekund)och en så kallad trög säkring hinner inte smälta sönder på den korta tiden en start tar.

Den andra säkringstypen är magnetsäkring. I stället för en smältsäkring har man då ett strömrelä. Reläet slår till då strömmen blir för hög och bryter på så sätt strömmen. Med en enkel mekanism kan man förhindra att reläet själv slår på strömmen då strömmen miskar. Av säkerhetsskäl måste en manuell återställning av säkringen ske.

Fördelen med magnetsäkringen är att den är snabb och det går att ställa in säkringen så att brytströmmen blir mycket noga bestämd.

En smältsäkring kan man överbelasta ordentligt under korta perioder utan att säkringen "går". Med en magnetsäkring bryts strömmen omedelbart.

Genom att ha ordentliga marginaler för hur elnätet är uppbyggt och genom att ha grova ledningar sker inga olyckor. De grova ledningarna hinner inte bli så varma under den tid säkringen fortfarande klarar en "överström".

Jordfelsbrytare

För att den personliga säkerheten ska bli stor, speciellt då man arbetar i en våt miljö eller en miljö med apparatur eller rörledningar som kan leda ström, har man jordfelsbrytare. Dessa bygger på att den ström som går ut genom en ledning också ska komma tillbaks i den andra ledningen.

Om det skulle bli ett fel på isoleringen eller jordningen (skyddsjorden) så kan en person bli en del av den elektriska kretsen och ström går från en ledning och till något som leder ström i omgivningen varvid returströmmen blir lägre. Det kan räcka med en våt gräsmatta för att utlösa jordfelsbrytaren då ett fel har uppstått.

Obalansen i ström i ledningarna gör att jordfelsbrytaren bryter strömmen. Gränsen brukar sättas vid 30 mA vilken man tål i några hundradels sekunder innan jordfelsbrytaren har slagit ifrån strömmen.