FörberedandeFysik

Versionen från 26 januari 2010 kl. 10.14 (redigera) Lena Chytraeus (Diskussion | bidrag) ← Gå till föregående ändring		Nuvarande version (22 mars 2018 kl. 12.18) (redigera) (ogör) Louwah (Diskussion | bidrag) (Lagt in lösningen som låg i Bilda)
Rad 1:		Rad 1:
-	Strömmen ska vara densamma både i "Japan-koppling" och "Svensk-koppling<br\>	+	En övning på att jobba med Ohms lag och att räkna på impedanser.
-		+
-	<math>I = U /Z</math> <math>U_1 / Z_1 = U_2 / Z_2</math><br\>	+
-	Antag att extra motståndet är<br\>	+	I det första fallet kopplar vi in en spole med kända egenskaper till 100 V växelspänning. I östra delarna av Japan används 50 Hz nätfrekvens vilket råkar sammanfalla med den frekvens som används i Sverige. I denna uppgift har vi förutsatt att vi befinner oss i östra Japan (det blir inte så stor skillnad om man istället räknar på 60 Hz men mer jobb).
-	<math>R,\omega = 314 rad/s \Rightarrow 100 /\sqrt{100^2 + 314^2\cdot 2^2} = 230/ \sqrt{(100+R)^2 + 314^2 \cdot 2^2}</math><br\>	+
-	<math>(I = 0,157 A) \Rightarrow R = 1218 \Omega </math>	+	I det första fallet kan vi räkna ut hur stor ström spolen behöver för att fungera. Denna ström behöver den sedan även när vi använder den här och när vi har denna ström kan vi därmed räkna ut vilken serieresistans som behövs för att impedansen ska bli tillräckligt hög.
		+
		+
		+	I fall 1 har vi en spole på 2,0 H vid 50 Hz, det motsvarar en reaktans <math>Z_L=2\cdot \pi \cdot v \cdot L=2 \cdot 3,14.. \cdot 50,0\cdot 2,0\,[\Omega]</math>. Spolen har också en resistans given till <math>R=100\,[\Omega]</math>.
		+
		+	Stoppar vi in detta i ett visardiagram och använder Pythagoras sats för att ta fram den resulterande impedansen får vi
		+
		+	<math>Z=R_L+jX_L</math>
		+
		+	varvid följer med användande av pythagoras och våra värdesiffror:
		+
		+	<math>|Z| = \sqrt{(R_L)^2 + (X_L)^2} = \sqrt{100^2 + (2\cdot 3,14.. \cdot 50,0 \cdot 2,0)^2} \,\Omega = 636\,\Omega</math> (med tre värdesiffror)
		+
		+
		+	Strömmen genom spolen när den ansluts till 100 V växelspänning är då
		+
		+	<math>i = \frac{u}{|Z|} = \frac{100 \,\mathrm{V}}{636 \,\mathrm{A}} = 157 \,\mathrm{mA}</math>
		+
		+	Nu behöver vi veta vilken impedans vi behöver för att 157 mA ska gå genom en krets ansluten till 230 V 50 Hz. Samma utgångspunkt från Ohms lag ger
		+
		+	<math>|Z| = \frac{u}{i} = \frac{230 \,\mathrm{V}}{157\,\mathrm{mA}} = 1,46 \,\mathrm{k\Omega}</math>
		+
		+	Spolens egenskaper känner vi, vi kompletterar med en rent resistiv last <math>R_s</math> i serie med spolen. Den totala lasten fås då som
		+
		+	<math>|Z| = \sqrt{(R_L+R_S)^2 + (X_L)^2} = \sqrt{(100 + R_S)^2 + (2 \cdot 3,14.. \cdot 50,0 \cdot 2,0)^2}</math>
		+
		+
		+	Vi har nu ett ekvationssystem som behöver lösas för <math>R_s</math>:
		+
		+	<math>1,46\,\mathrm{k} = \sqrt{(100 + R_S)^2 + (2\cdot 3,14..\cdot 50,0\cdot 2,0)^2}</math>
		+
		+	<math>1460 = \sqrt{(100 + R_S)^2 + (2\cdot 3,14..\cdot 50,0\cdot 2,0)^2}</math>
		+
		+	<math>1460^2 = (100 + R_S)^2 + (2\cdot 3,14..\cdot 50,0\cdot 2,0)^2</math>
		+
		+	<math>1460^2 - (2\cdot 3,14..\cdot 50,0\cdot 2,0)^2 = (100 + R_S)^2</math>
		+
		+	<math>R_S = \sqrt{1460^2 - (2\cdot 3,14..\cdot 50,0 \cdot 2,0)^2} - 100 \,\Omega</math>
		+
		+	<math>R_S = 1218 \,\Omega</math>
		+
		+	Egenskaperna för spolen, frekvenserna och nätspänningarna givna med två värdesiffror, uträkningar gjorda med tre. Avrundar därmed svaret till <math>1200 \,\Omega</math>.

---

Nuvarande version

En övning på att jobba med Ohms lag och att räkna på impedanser.

I det första fallet kopplar vi in en spole med kända egenskaper till 100 V växelspänning. I östra delarna av Japan används 50 Hz nätfrekvens vilket råkar sammanfalla med den frekvens som används i Sverige. I denna uppgift har vi förutsatt att vi befinner oss i östra Japan (det blir inte så stor skillnad om man istället räknar på 60 Hz men mer jobb).

I det första fallet kan vi räkna ut hur stor ström spolen behöver för att fungera. Denna ström behöver den sedan även när vi använder den här och när vi har denna ström kan vi därmed räkna ut vilken serieresistans som behövs för att impedansen ska bli tillräckligt hög.

I fall 1 har vi en spole på 2,0 H vid 50 Hz, det motsvarar en reaktans \displaystyle Z_L=2\cdot \pi \cdot v \cdot L=2 \cdot 3,14.. \cdot 50,0\cdot 2,0\,[\Omega]. Spolen har också en resistans given till \displaystyle R=100\,[\Omega].

Stoppar vi in detta i ett visardiagram och använder Pythagoras sats för att ta fram den resulterande impedansen får vi

\displaystyle Z=R_L+jX_L

varvid följer med användande av pythagoras och våra värdesiffror:

\displaystyle |Z| = \sqrt{(R_L)^2 + (X_L)^2} = \sqrt{100^2 + (2\cdot 3,14.. \cdot 50,0 \cdot 2,0)^2} \,\Omega = 636\,\Omega (med tre värdesiffror)

Strömmen genom spolen när den ansluts till 100 V växelspänning är då

\displaystyle i = \frac{u}{|Z|} = \frac{100 \,\mathrm{V}}{636 \,\mathrm{A}} = 157 \,\mathrm{mA}

Nu behöver vi veta vilken impedans vi behöver för att 157 mA ska gå genom en krets ansluten till 230 V 50 Hz. Samma utgångspunkt från Ohms lag ger

\displaystyle |Z| = \frac{u}{i} = \frac{230 \,\mathrm{V}}{157\,\mathrm{mA}} = 1,46 \,\mathrm{k\Omega}

Spolens egenskaper känner vi, vi kompletterar med en rent resistiv last \displaystyle R_s i serie med spolen. Den totala lasten fås då som

\displaystyle |Z| = \sqrt{(R_L+R_S)^2 + (X_L)^2} = \sqrt{(100 + R_S)^2 + (2 \cdot 3,14.. \cdot 50,0 \cdot 2,0)^2}

Vi har nu ett ekvationssystem som behöver lösas för \displaystyle R_s:

\displaystyle 1,46\,\mathrm{k} = \sqrt{(100 + R_S)^2 + (2\cdot 3,14..\cdot 50,0\cdot 2,0)^2}

\displaystyle 1460 = \sqrt{(100 + R_S)^2 + (2\cdot 3,14..\cdot 50,0\cdot 2,0)^2}

\displaystyle 1460^2 = (100 + R_S)^2 + (2\cdot 3,14..\cdot 50,0\cdot 2,0)^2

\displaystyle 1460^2 - (2\cdot 3,14..\cdot 50,0\cdot 2,0)^2 = (100 + R_S)^2

\displaystyle R_S = \sqrt{1460^2 - (2\cdot 3,14..\cdot 50,0 \cdot 2,0)^2} - 100 \,\Omega

\displaystyle R_S = 1218 \,\Omega

Egenskaperna för spolen, frekvenserna och nätspänningarna givna med två värdesiffror, uträkningar gjorda med tre. Avrundar därmed svaret till \displaystyle 1200 \,\Omega.