Lösning 4.4:3

FörberedandeFysik

Versionen från 29 januari 2018 kl. 15.21

Vad är det vi försöker göra?

En typisk hushållsmaskin består av en motor och en ekvivalent modell av en motor är en ideal resistor i serie med en ideal spole. Detta är bara en modell men den passar väldigt bra att räkna på eftersom dessa båda komponenter kopplade i serie beter sig mätmässigt precis som en motors lindning, en motor har nämligen en väldigt lång upplindad tråd i sin spole och denna tråd har just en resistans och en induktans.

En motor har eftersom den består av en lindning en positiv fasvinkel och därmed en effektfaktor som är ett positivt tal, brukar ligga mellan 0,6-0,9 för motorer och för just denna hushållsmaskin är effektfaktorn \displaystyle \cos \phi = 0,8

Det är viktigt att spänningen över resistorn (i vår modell av motorn) är densamma som tidigare, är den det så kommer motorn fortfarande att fungera. Över resistorn ligger hela den aktiva effekten P hos motorn. Över spolen (i vår modell av motorn) ligger i fall 1 hela den skenbara effekten S.

Fall 1

Motorn är inkopplad till spänningen \displaystyle U_M = 115V (den är över både resistorn och spolen, jag lägger till index M för motor) och utvecklar då \displaystyle P = 300 W (det är aktiv effekt förbrukad i resistorn), motorns resistans är uppmätt till \displaystyle U_R = 28,2 \Omega

Från effektlagen \displaystyle P = U \cdot I \cdot \cos \phi får vi fram strömmen \displaystyle I genom kretsen. Eftersom alla komponenter är i serie är detta samma ström som flyter genom var och en av komponenterna.

\displaystyle P = U \cdot I \cdot \cos \phi \Rightarrow I = \frac{P}{U\cdot \cos \phi}

Vi får \displaystyle I = \frac{300 \mathrm{W}}{115 \mathrm{V} \cdot 0,8} = 3,26 \mathrm{A}

Genom resistorn flyter alltså strömmen \displaystyle 3,26 \mathrm{A}, vilket med uppmätt resistans \displaystyle R = 28,2 \Omega via Ohms lag \displaystyle = U = R \cdot I ger spänningen över resistorn:

\displaystyle U_R = R \cdot I = 28,2 \Omega \cdot 3,26 \mathrm{A} = 91,9 \mathrm{V}.

Över kondensatorn finns också en spänning och den är fasförskjuten 90 grader i förhållande till resistorns spänning, över den ligger den skenbara effekten S.

Pythagoras sats \displaystyle a^2 + b^2 = c^2 tillämpas på elläran men här är de tre sidorna spänningar. c motsvaras av spänningen i vägguttaget, 115 V, a är den horisontella linjen och motsvaras av spänningen över resistorn, 91,9 V medan b är den vertikala linjen och motsvaras av spänningen \displaystyle U_L över spolen. Den är ännu inte känd, vi räknar ut den:

\displaystyle a^b + b^c = c^2 \Rightarrow b^2 = \sqrt{c^2 - a^2}

Med spänningarna inlagda får vi spänningen över spolen till:

\displaystyle U_L = \sqrt{115^2 - 91,9^2} \mathrm{V} = 69,1 \mathrm{V}

Fall 2

Motorn är inkopplad till spänningen \displaystyle U_M = 230 \mathrm{V}. Från resonemanget med Pythagoras sats ovan där sidorna utgörs av spänningar i spänningstriangeln förstår vi nu att den resulterande spänningen c nu kommer att vara \displaystyle U_M = 230 \mathrm{V} och eftersom förutsättningen för att motorn ska fungera som vanligt är att spänningen över resistorn förblir oförändrad så måste det gälla att \displaystyle U_R = 91,9 \mathrm{V}.

Nu är det så att spänningen över en ideal spole är riktad rakt uppåt (90 grader före) medan spänningen över en kondensator är riktad rakt nedåt (90 grader efter) vilket gör att den resulterande spänningen över en spole \displaystyle U_L och en kondensator \displaystyle U_C brukar kallas \displaystyle U_X och fås som \displaystyle U_X = U_L - U_C.

Om vi sätter en spole eller en kondensator i serie med motorn så kan vi välja ett sådant värde på denna att spänningen över resistorn förblir \displaystyle U_R = 91,9 \mathrm{V}, det är det som är vår uppgift - hitta rätt värde. I uppgiften står det att vi ska använda en kondensator så det gör vi!

Vi räknar ut den resulterande spänningen över kondensatorn i serie med spolen i vår lösning \displaystyle U_X och får

\displaystyle c^2 = a^2 + b^2 \Rightarrow b = \sqrt{c^2-a^2}

Med spänningar får vi:

\displaystyle U_X = \sqrt{230^2 - 91,9^2} \mathrm{V} = 210,8 \mathrm{V}

Från resonemanget med riktningar på spänningar har vi att spänningen över kondensatorn fås som skillnaden mellan \displaystyle U_X och \displaystyle U_L

\displaystyle U_C = U_X - U_L = 210,8 - 69,1 \mathrm{V} = 141,7 \mathrm{V}

För en kondensator gäller allmänt sambandet nedan för impedansen X_C och kapacitansen C

\displaystyle X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2\pi f \cdot C}, X_C = U_C\cdot I \mathrm{(ohms lag)} \Rightarrow C = \frac{I}{2\pi f \cdot U_C}

Med våra värden instoppade får vi kapacitansen:

\displaystyle C = \frac{1}{2\pi f \cdot U_C} = \frac{3,26}{2 \pi \cdot 50 \cdot 141,7} \mathrm{F} = 73 \mu \mathrm{F}

Nu finns inte just denna storlek att köpa utan valbara storlekar hämtas från serie E6 och är 10, 15,22,33,47,68,100,150 osv. Vi vill ha en kondensator som är aningen större än vad vi räknat fram för att vara säkra på att spänningen över resistorn inte blir för stor. Ett sätt är att välja \displaystyle F = 100 \mu\mathrm{F} men detta är kanske väl stort. Vi väljer att sätta in två kondensatorer parallellt, \displaystyle F = 10 \mu\mathrm{F} och \displaystyle F = 68 \mu\mathrm{F}. Den totala kapicitansen blir då \displaystyle F = 68 + 10 = 78 \mu\mathrm{F}.

Alternativ lösning

Nu tänker vi oss att vi kopplar en kondensator i serie med vår modell av motorn, det blir då tre komponenter i serie, en kondensator, en spole och en resistor.

Över kondensatorer finns det också skenbar effekt S men den är riktad \displaystyle 180 \deg i motsatt riktning.

Effekten är vid inkoppling på \displaystyle 115V \displaystyle 50Hz växelström;

\displaystyle P=U\cdot I\cdot \cos\phi där \displaystyle \cos\phi =0,8 \Rightarrow 300 = 115\cdot I\cdot 0,8 \Rightarrow I=3,26 A, \displaystyle R=28,2\Omega
då är \displaystyle U_R=91,9 V \Rightarrow
\displaystyle U^2=U_R^2+U_L^2 \Rightarrow 115^2=91,9^2+U_L^2; \displaystyle U_L=69,1 V;

Med en kondensator i serie och inkopplad till \displaystyle 230 V växelström. Strömmen och effekten blir samma som vid en inkoppling till elnät på \displaystyle 115 V. Under delar av perioden tar kondensatorn upp energi från nätet och i andra delar lämnar kondensatorn samma energi tillbaka till nätet. Medeleffekten för kondensatorn är noll.

\displaystyle U_{L+R+C}=230 V Räkna först på vad spänningen blir över motståndet i hushållsmaskinen och en tänkt lämplig kondensator \displaystyle C_1 \Rightarrow U_R^2+U_{C1}^2=230^2 => U_{C1}=210,8 V.

Kondensatorn måste vara lite större än så för att kompensera för hushållsmaskinens induktans.

Då kapacitiva och induktiva spänningar kan adderas (RÄTT SKA VARA SUBRAHERAS) blir spänningen över den kondensator över vilken både den induktiva spänningen ska kompenseras och sedan ta hand om de \displaystyle 115 V från \displaystyle 230 V som inte ska gå till hushållsmaskinen \displaystyle \Rightarrow U_C=U_{C1}+U_L \Rightarrow U_C=279,9 V.

Spänningen \displaystyle U_C är lika med \displaystyle I gånger impedansen för \displaystyle C som är \displaystyle 1=\omega C (Ohms lag för växelström \displaystyle U=I\cdot Z där \displaystyle Z är impedansen eller växelströmsmotståndet) dvs \displaystyle U_C=I \omega C\omega = 314 rad/s \Rightarrow C=37\mu F