FörberedandeFysik

Versionen från 5 december 2017 kl. 15.12

FÖRFATTARE: Göran Tranströmer & Lars-Erik Berg, KTH Fysik

Atomen

Spektroskopin gav att varje grundämne har ett karakteristiskt spektrum. För vissa ämnen (väte, vissa alkalimetaller) var spektrallinjerna regelbundna, lätt igenkännliga serier. Balmer fann för de synliga våglängderna i vätets spektrum att

\displaystyle \lambda_n = konst \cdot \displaystyle \frac{n^2}{n^2 - 2^2}

där \displaystyle n är det skal som elektronen exciteras till, \displaystyle n = 3,4,5... Längre fram i teorin visar vi hur vi kommer fram till detta samband.

Balmerserien hos atomärt väte.

Bohrs teori för väteatomen

Uppmuntrad av Plancks framgång med kvantisering kom Bohrs teori för väteatomen (1913). Den innebar att i ett bundet (atomärt) system är energin kvantiserad. Systemets möjliga energitillstånd kan åskådliggöras med ett energinivådiagram, där (i den enklaste modellen) varje nivå tilldelas ett kvanttal \displaystyle n. Genom absorption av elektromagnetisk strålning eller genom kollisioner med omgivande atomer överförs kinetisk energi till elektronen, som exciteras; den motsatta deexcitationsprocessen sker under fotonemission.

Runt en proton med laddningen \displaystyle \mathrm{e^+} kretsar en elektron med motsatt laddning. Protonens massa är 1836 gånger tyngre än elektronens, så i den enklaste beskrivningen rör sig elektronen i en cirkulär bana runt den stillaliggande (oändligt tunga) protonen.

Banorna kallas skal, och betecknas med bokstäver i alfabetisk ordning inifrån och ut, där det innerska skalet betecknas K. Ett sätt att beteckna hopp mellan skal är att använda det grekiska alfabetet. K\displaystyle _\alpha betecknar ett hopp som hoppar över noll andra skal, så det är detsamma som ett hopp från L-skalet till K-skalet. \displaystyle \beta betecknar hopp som hoppar över ett skal, så K\displaystyle _\beta betecknar ett hopp från M-skalet till K-skalet. L\displaystyle _\beta betecknar ett hopp från N-skalet till L-skalet.

På samma sätt betecknar \displaystyle \gamma ett hopp som hoppar över två skal, och så vidare.

Bohrs tre postulat

1. Elektronen kretsar i stabila banor utan att stråla ut energi.
2. Då elektronen övergår från en stabil bana till en annan stabil bana absorberar eller emitterar den energin \displaystyle E_i - \,E_f = hf_{if}
3. Integralen av elektronens rörelsemängd \displaystyle p runt elektronbanan är en heltalsmultipel av \displaystyle h. \displaystyle \oint p\, ds = n\, h

Eftersom elektronerna rör sig med konstant hastighet i en cirkulär bana \displaystyle s med konstant avstånd \displaystyle r till kärnan kommer rörelsemomentet \displaystyle p i postulat 3 ovan att vara oberoende av banan. Vi får för VL

\displaystyle \oint p ds = p \oint ds = pr \int\limits_0^{2\pi}d\theta = pr\cdot 2\pi

Då \displaystyle p = mv kan vi nu skriva postulat 3 som

\displaystyle mv \cdot 2\pi = nh \iff v =\displaystyle \frac{n h}{2\pi m r}

där \displaystyle n är ett positivt heltal, \displaystyle h Plancks konstant, \displaystyle r avståndet mellan elektronen och kärnan, \displaystyle v elektronens hastighet och \displaystyle m elektronens massa.

En elektron i en omloppsbana kring en atomkärna påverkas av två krafter, coulombkraften och centipetalkraften. Dessa är lika stora. I \displaystyle r-led har vi alltså med laddningen \displaystyle q = e följande

\displaystyle \displaystyle\frac{e^2}{4\pi \epsilon_0 r^2} = \displaystyle\frac{m v^2}{r}

där \displaystyle \epsilon_0 är kapacitiviteten i rymden, \displaystyle \epsilon_0 \approx 8,854 \cdot 10^{-12} \,\mbox{F/m}

Om vi kombinerar de båda senaste sambanden får vi \displaystyle r som en funktion av \displaystyle n enligt

\displaystyle \displaystyle\frac{e^2}{4 \pi\epsilon_0 r^2} = \displaystyle\frac{m}{r} \cdot \bigg(\displaystyle\frac{nh}{2 \pi m r}\bigg)^2 \Rightarrow r_n = \displaystyle\frac{ \epsilon_0 h^2}{m e^2 \pi}\cdot n^2 = a_0\cdot n^2

där \displaystyle a_0 är Bohrradien, \displaystyle a_0= 0{,}0529 \,\mbox{nm}

Elektronens energi, \displaystyle E, utan hänsyn tagen till viloenergin, är summan av den kinetiska och den potentiella energin.

\displaystyle E = \displaystyle\frac{1}{2} m v^2 - \displaystyle\frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 r}

\displaystyle = \displaystyle\frac{1}{2}m \,v^2 - m \,v^2 = - \frac{1}{2} m\,v^2

\displaystyle = - \displaystyle\frac{e^2}{8 \pi \epsilon_0 r}

Energin är negativ eftersom elektronen är bunden till kärnan.

Om vi sätter in vårt uttryck för \displaystyle r i detta får vi \displaystyle E som en funktion av \displaystyle n

\displaystyle E_n = - \displaystyle\frac{e^2}{8 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{m e^2 \pi}{n^2 \epsilon_0 h^2}

\displaystyle = - \displaystyle\frac{m e^4}{8 h^2 \epsilon_0^2} \cdot \displaystyle\frac{1}{n^2}

\displaystyle = E_0 \cdot \frac{1}{n^2}

där \displaystyle E_0 är vätets joniseringsenergi, den energi som måste tillföras för att en atom i viloläge ska frigöra en elektron helt. Med numeriska värden för \displaystyle m, \displaystyle e, \displaystyle h och \displaystyle \epsilon_0 får vi \displaystyle E_0 = -13{,}61 \,\mbox{eV}.

Vi har alltså för en elektron i omloppsbana energisambandet

\displaystyle E_n = E_0\cdot \displaystyle \frac{1}{n^2} = -13{,}61\cdot \displaystyle\frac{1}{n^2} \,\mbox{eV}

där \displaystyle n är huvudkvanttalet och kan anta värdena \displaystyle 1,2,3,\dots

Energinivåer hos väteatomen

Materia består av atomer, varje atom består av en mycket liten men tung kärna och ett elektronmoln. Varje elektron har noggrant bestämd energi. Varje atom har många olika energinivåer. Varje atom som är exciterad gör sig av med överskottsenergin. Då övergår en elektron från en bana med högre energi till en med lägre och atomen sänder ut energin som en foton. Energidifferensen mellan två nivåer \displaystyle E_n och \displaystyle E_k fås som

\displaystyle E_n – E_k = -\displaystyle\frac{me^4}{8\epsilon_0^2h^2} \cdot \displaystyle \frac{1}{n^2} - \bigg(-\displaystyle\frac{me^4}{8\epsilon_0^2h^2}\bigg) \cdot \displaystyle \frac{1}{k^2} = -\displaystyle\frac{me^4}{8\epsilon_0^2h^2} \cdot \bigg( \displaystyle \frac{1}{n^2}- \displaystyle \frac{1}{k^2} \bigg) \displaystyle = E_0 \cdot \bigg( \displaystyle \frac{1}{n^2}-\displaystyle \frac{1}{k^2} \bigg) = -13{,}61 \mbox{ eV} \cdot \bigg( \displaystyle \frac{1}{n^2}-\displaystyle \frac{1}{k^2} \bigg)

Från Plancks lag känner vi att vi också kan skriva energidifferensen som

\displaystyle E_n - E_k = hf = \displaystyle \frac{hc}{\lambda}

Sätter vi samman dessa båda uttryck har vi

\displaystyle \displaystyle \frac{hc}{\lambda} = E_0 \cdot \bigg( \displaystyle \frac{1}{n^2}-\displaystyle \frac{1}{k^2} \bigg)

varur vi får

\displaystyle \displaystyle\frac{1}{\lambda} = \displaystyle\frac{E_0}{hc} \cdot \bigg( \displaystyle \frac{1}{n^2}-\displaystyle \frac{1}{k^2} \bigg)

konstanten \displaystyle \displaystyle\frac{E_0}{hc} är så pass vanlig att den fått ett eget namn, Rydbergs konstant, \displaystyle R

\displaystyle R = 1,097 \cdot 10^7 \mbox{m}^{-1}

Våglängden på den foton som sänds ut vid en energiövergång fås alltså av sambandet

\displaystyle \displaystyle\frac{1}{\lambda} = R \cdot \bigg( \displaystyle \frac{1}{n^2}-\displaystyle \frac{1}{k^2} \bigg)

Mer material kommer