Lösning 4.4:3

FörberedandeFysik

Vad är det vi försöker göra?

En typisk hushållsmaskin består av en motor och en ekvivalent modell av en motor är en ideal resistor i serie med en ideal spole. Detta är bara en modell men den passar väldigt bra att räkna på eftersom dessa båda komponenter kopplade i serie beter sig mätmässigt precis som en motors lindning, en motor har nämligen en väldigt lång upplindad tråd i sin spole och denna tråd har just en resistans och en induktans.

En motor har eftersom den består av en lindning en positiv fasvinkel och därmed en effektfaktor som är ett positivt tal, brukar ligga mellan 0,6-0,9 för motorer och för just denna hushållsmaskin är effektfaktorn cos=08

Det är viktigt att spänningen över resistorn (i vår modell av motorn) är densamma som tidigare, är den det så kommer motorn fortfarande att fungera. Över resistorn ligger hela den aktiva effekten P hos motorn. Över spolen (i vår modell av motorn) ligger i fall 1 hela den skenbara effekten S.

Problemställningen är något förenklad för att underlätta räknandet, i Amerika används egentligen nätfrekvensen 60 Hz. Vi lämnar till läsaren att fundera på hur lösningen skulle se ut om man även skulle ta hänsyn till detta! Förenklingen är rimlig att göra.

Fall 1

Motorn är inkopplad till spänningen UM=115V (den är över både resistorn och spolen, jag lägger till index M för motor) och utvecklar då P=300W (det är aktiv effekt förbrukad i resistorn), motorns resistans är uppmätt till UR=282

Från effektlagen P=UIcos får vi fram strömmen I genom kretsen. Eftersom alla komponenter är i serie är detta samma ström som flyter genom var och en av komponenterna.

P=UIcosI=PUcos

Vi får I=300W115V08=326A

Genom resistorn flyter alltså strömmen 326A, vilket med uppmätt resistans R=282 via Ohms lag =U=RI ger spänningen över resistorn:

UR=RI=282326A=919V.

Över kondensatorn finns också en spänning och den är fasförskjuten 90 grader i förhållande till resistorns spänning, över den ligger den skenbara effekten S.

Pythagoras sats a2+b2=c2 tillämpas på elläran men här är de tre sidorna spänningar. c motsvaras av spänningen i vägguttaget, 115 V, a är den horisontella linjen och motsvaras av spänningen över resistorn, 91,9 V medan b är den vertikala linjen och motsvaras av spänningen UL över spolen. Den är ännu inte känd, vi räknar ut den:

ab+bc=c2b2=c2−a2 

Med spänningarna inlagda får vi spänningen över spolen till:

UL=1152−9192V=691V 

Fall 2

Motorn är inkopplad till spänningen UM=230V. Från resonemanget med Pythagoras sats ovan där sidorna utgörs av spänningar i spänningstriangeln förstår vi nu att den resulterande spänningen c nu kommer att vara UM=230V och eftersom förutsättningen för att motorn ska fungera som vanligt är att spänningen över resistorn förblir oförändrad så måste det gälla att UR=919V.

Nu är det så att spänningen över en ideal spole är riktad rakt uppåt (90 grader före) medan spänningen över en kondensator är riktad rakt nedåt (90 grader efter) vilket gör att den resulterande spänningen över en spole UL och en kondensator UC brukar kallas UX och fås som UX=UL−UC.

Om vi sätter en spole eller en kondensator i serie med motorn så kan vi välja ett sådant värde på denna att spänningen över resistorn förblir UR=919V, det är det som är vår uppgift - hitta rätt värde. I uppgiften står det att vi ska använda en kondensator så det gör vi!

Vi räknar ut den resulterande spänningen över kondensatorn i serie med spolen i vår lösning UX och får

c2=a2+b2b=c2−a2 

Med spänningar får vi:

UX=2302−9192V=2108V 

Från resonemanget med riktningar på spänningar har vi att spänningen över kondensatorn fås som skillnaden mellan UX och UL

UC=UX−UL=2108−691V=1417V

För en kondensator gäller allmänt sambandet nedan för impedansen XC och kapacitansen C

XC=1C=12fCUC=XCI(ohmslag)C=I2fUC

Med våra värden instoppade får vi kapacitansen:

C=12fUC=3262501417F=73F

Ovan är det teortiska värdet på vilken kapacitans som ger exakt samma spänning över resistorn.

Nu finns inte just denna storlek att köpa utan valbara storlekar hämtas från serie E6 och är 10,15,22,33,47,68,100,150 osv. Vi vill ha en kondensator som är aningen större än vad vi räknat fram för att vara säkra på att spänningen över resistorn inte blir för stor. Ett sätt är att välja F=100F men detta är kanske väl stort. Vi väljer att sätta in två kondensatorer parallellt, F=10F och F=68F. Den totala kapicitansen blir då F=68+10F=78F.