Exempel uppgift

FörberedandeFysik

Versionen från 17 mars 2010 kl. 09.19

Exempeluppgift

Detta är ett exempel på en inlämningsuppgift i Internetfysikkursen. Denna uppgift är alltså inte den inlämningsuppgift som du ska göra, utan den får du tillgång till först när du fått godkänt på alla slutprov.

Uppgifter

E1. Leta reda på tillverkarens tekniska produktfakta för en värmepump som marknadsförs för enfamiljshus. (Det finns mycket på webben.) Värmepumpars prestanda brukar anges för några olika driftsförhållanden med en viss standardtemperatur på den varma sidan och en viss standardtemperatur på den kalla sidan. (Det förklaras ofta i en liten fotnot till en tabell.) Du ska genomföra denna uppgift för en enda uppsättning temperaturer och inte för samtliga driftsförhållanden som förekommer på faktabladet.

1. Identifiera effekter motsvarande \displaystyle Q_{\rm{varm}} och \displaystyle W_{\rm{in}} samt värmefaktorn \displaystyle COP_{\rm{vp}}. Var noga med mätenheter.Kontrollera att de givna värdena för dessa storheter överensstämmer med definitionen av värmefaktorn. (Eventuellt kan du tvärtom behöva beräkna den tredje storheten utifrån givna värden för enbart två storheter.)
2. Beräkna den värmeeffekt som värmepumpen tar från den kalla sidan, t.ex. jord eller berggrund.
3. Ger den andra huvudsatsen en möjlighet att beräkna en undre gräns, (\displaystyle COP_{\rm{vp}} > · · · ), ett exakt värde, (\displaystyle COP_{\rm{vp}} = · · · ), eller en övre gräns, (\displaystyle COP_{\rm{vp}} < · · · ), för värmefaktorn? Genomför denna uppskattning och jämför med pumpens verkliga värmefaktor.

E2. Du är ute och paddlar kanot på en sjö. En morgon startar du från ditt nattläger vid stranden och paddlar först 240m i en riktning som ligger \displaystyle 32^{\circ} söder om riktningen rakt åt öster för att handla i en affär, vars läge du sett markerat på en karta. På kartan har du kunnat mäta ut den angivna längden.

När du paddlar tillbaka, så paddlar du först en sträcka \displaystyle b i en riktning som ligger \displaystyle 48^{\circ} norr om riktningen rakt åt väster; därefter paddlar du en sträcka \displaystyle c i en riktning som ligger \displaystyle 72^{\circ} söder om riktningen rakt åt väster, varefter du är tillbaka i lägret. Riktningarna mäter du med din kompass, men du vet inte längderna för de sträckor du paddlar på tillbakavägen.

Använd vektorer för att bestämma längderna \displaystyle b och \displaystyle c.

E3. En plastlinjal är drygt 20 cm lång. Vid markeringen för 10 cm finns ett hål i linjalen i vilket man kan sticka in t.ex. en stoppnål. Denna fungerar då som en axel kring vilken linjalen blir vridbar. En metallstav \displaystyle S och en motvikt \displaystyle M håller varandra i jämvikt, när de är placerade som i figuren. Båda hänger i mycket tunna trådar. Metallstavens volym är 10,0 cm\displaystyle ^3.

En bägare med vätska placeras så att metallstaven i sin helhet blir omgiven av vätskan. För att återställa jämvikten hänger man vid lämpliga skalstreck (se figuren nedan) små ståltrådar med massorna 0,1 g, 1 g och 10 g.

Bestäm vätskans densitet om, som i figuren, ståltrådarna måste hängas på avstånden 3 cm, 7 cm respektive 8 cm från vridningsaxeln.

E4. En elektrisk krets består av tre seriekopplade komponenter, en spole med resistansen 60\displaystyle \Omega och induktans 0,05 H, en resistor med resistansen 100\displaystyle \Omega samt en kondensator med kapacitansen 4,0 \displaystyle \muF. Kretsen ansluts till 200 V, 400 Hz. Beräkna strömmen i kretsen till belopp och fas i förhållande till spänningen.

E5. Ett blixtnedslag består i allmänhet av 4–5 urladdningar efter varandramedkorta mellanrum(50 ms). Antag att en av dessa urladdningar transporterar 5C över en potentialskillnad av 100MV mellan moln och mark under loppet av 10 μs. Beräkna den genomsnittliga strömmen, energitransporten och den genomsnittliga effekt som utvecklas.

Lösning

E1

E2

Vi har fått ett antal kompasskurser angivna och söker två sträckor.

Vi antar att vi använder en vanlig kompass med vinkelsumman \displaystyle 360^\circ på ett varv, vidare antar vi att avdrift och kompassdeviation mm är noll. Att göra sådana här antaganden är viktiga för att förenkla problemen till rimlig komplexitet.

Med dessa förenklingar så får vi ett problem med tre vektorer vars summa är noll, se illustration. Dessvärre är vinklarna angivna något egendomligt varför vi behöver göra om dessa till kartesiska koordinater i ett x-y-system. För att få rätt vinklar i rätt riktning så skissar vi problemställningen, en utmaning är ju att vinklarna är angivna relativt till olika väderstreck och inte relativt x-axeln!

Vi väljer att ha öst som x-koordinat (och därmed blir väst negativa x-koordinater) samt nord som y-koordinat (med syd som negativ y-koordinat). Andra val kan självklart göras, detta är kanske det mest intuitiva?

Vektorn a inlagd i detta koordinatsystem ger

\displaystyle \bar{a} = 240 ( \cos{32^\circ}\, , - \, \sin{32^\circ})

Vektorn b inlagd i samma koordinatsystemt ger

\displaystyle \bar{b} = b ( -\, \cos{48^\circ}\, , \,\sin{48^\circ} )

Vektorn c slutligen

\displaystyle \bar{c} = c (-\,\cos{72^\circ},-\,\sin{72^\circ} )

Vi tittar (som vanligt) på x- och y-värdena var för sig och får två ekvationer med totalt två obekanta. Lika många obekanta som antalet ekvationer, innebär att vi kan lösa problemet matematiskt såvida inte de två ekvationerna är identiska.

\displaystyle x: \quad 240 \cdot\cos(32^\circ) -\, b \cdot \cos(48^\circ) -\, c \cdot \cos(72^\circ) = 0

\displaystyle y: \quad -\,240 \cdot \sin(32^\circ) +b \cdot \sin(48^\circ)-\, c \cdot \sin(72^\circ) = 0

Vi inser att vi har ett ekvationssytem som är lösbart, vi löser det exakt nedan (du kan välja att först beräkna de trigometriska funktionernas värden med 3-4 värdesiffror men det kommer att ge avrundningsfel, hur stora?)

\displaystyle 240 \cdot\cos(32^\circ) -\, b \cdot \cos(48^\circ) -\, c \cdot \cos(72^\circ) = 0 (1)

\displaystyle -\,240 \cdot \sin(32^\circ) +b \cdot \sin(48^\circ)-\, c \cdot \sin(72^\circ) = 0 (2)

Vi eliminerar b genom att multiplicera (1) med \displaystyle \displaystyle\frac{\sin{48^\circ}}{\cos{48^\circ}} = \tan{48^\circ}

\displaystyle 240 \cdot\cos(32^\circ)\cdot \tan{48^\circ} -\, b \cdot \sin{48^\circ} -\, c \cdot \cos(72^\circ)\cdot \tan{48^\circ} = 0 (1)

\displaystyle -\,240 \cdot \sin(32^\circ) +b \cdot \sin(48^\circ)-\, c \cdot \sin(72^\circ) = 0 (2)

Vi adderar (1) och (2) och får

\displaystyle 240 \left( \cos{32}\cdot \tan{48} - \sin{32} \right) = c\left( \cos{72}\cdot \tan{48} + \sin{72} \right)

\displaystyle \Rightarrow c = 240 \cdot \displaystyle\frac{\cos{32}\cdot \tan{48} - \sin{23}}{\cos{72}\cdot\tan{48}+ \sin{72}} \approx 76

Det exakta värdet av c insatt i (1) överst ger b enligt

\displaystyle 240 \cdot \cos{32} - 240 \cdot \cos{72} \displaystyle\frac{\cos{32}\cdot\tan{48}-\sin{32}}{\cos{72} \cdot \tan{48} + \sin{72}}

\displaystyle \Rightarrow b = \displaystyle\frac{240}{\cos{48}} \cdot \left( \cos{32} - \cos{72} \displaystyle\frac{\cos{32}\cdot\tan{48}-\sin{32}}{\cos{72} \cdot \tan{48} + \sin{72}} \right) \approx 269

E3

Vid en första anblick ser det ut som att vi ska sätta upp en jämviktsekvation för de två fallen och utifrån det plocka fram två obekanta. Man inser ganska snart att detta inte hjälper, om vi skulle sätta upp dessa ekvationer skulle vi få tre obekanta på två ekvationer.

Utmaningen är istället att tänka ett steg längre. De ursprungliga massorna är ointressanta, det som är intressant är hur stor lyftkraften blir av nedsänkningen i vätskan.

Vi tittar på det andra fallet och sätter upp en jämviktsekvation för skillnaden mellan fall 1 och fall 2. Vi får (med \displaystyle M_{knappnål} för momentet kring knappnålen)

\displaystyle M_{knappnål} differentiell = 3 \,\mbox{cm} \cdot 0{,}1 \,\mbox{g} \cdot g + 7 \,\mbox{cm} \cdot 1 \,\mbox{g} \cdot g + 8 \,\mbox{cm} \cdot 10 \,\mbox{g}\cdot g - 10 \,\mbox{cm} \cdot N_{lyftkraft}

Vi hyfsar enheterna lite grann och får

E4

E5