Slaskövning22

Övning 22.1

Låt \displaystyle O\boldsymbol{e}_1\boldsymbol{e}_2\boldsymbol{e}_3 vara ett ON-system i rummet. Bestäm egenvärden och egenvektorer för den linjära avbildning som beskriver

a) ortogonal projektion i planet \displaystyle x_1+x_2+x_3=0

b) spegling i planet \displaystyle x_1+x_2+x_3=0

c) vridning \displaystyle \pi/2 kring \displaystyle \boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3

d) vridning \displaystyle \pi kring \displaystyle \boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3

Övning 22.2

Låt \displaystyle F vara en linjär avbildning på rummet med matrisen \displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr}1&-1&-1\\-2&0&1\\2&2&1\end{array}\right) .

a) Visa att \displaystyle \lambda_1=1 är ett egenvärde med tillhörande egenvektor \displaystyle \boldsymbol{v}_1=\underline{\boldsymbol{e}} \left(\begin{array}{r}1\\-1\\1\end{array}\right) till \displaystyle F .

b) Visa att \displaystyle \boldsymbol{v}_2=\underline{\boldsymbol{e}} \left(\begin{array}{r}0\\-1\\1\end{array}\right) är en egenvektor till \displaystyle F . Bestäm tillhörande egenvärde \displaystyle \lambda_2 .

c) Visa att \displaystyle \lambda_3=2 är ett egenvärde till \displaystyle F och bestäm tillhörande egenvektor \displaystyle \boldsymbol{v}_3 .

Övning 22.3

Antag att \displaystyle F är en linjär avbildning i rummet som har matrisen

a) Bestäm egenvärdena till \displaystyle F .

b) Bestäm egenrummen till \displaystyle F .

Övning 22.4

Bestäm en bas för \displaystyle {\bf R}^3 av egenvektorer till matrisen

Övning 22.5

Avbildningen \displaystyle F:{\bf R^3}\rightarrow{\bf R^3} ges i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} av matrisen \displaystyle \left(\begin{array}{rrr} -1& 2& 2\\ 0& 1& 2\\ 0& 0& -1\end{array}\right) .

Bestäm en bas bestående av egenvektorer till \displaystyle F .

Övning 22.6

Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} vara en bas för rummet. En linjär avbildning \displaystyle F på rummet ges av

Bestäm om möjligt en bas för rummet som består av egenvektorer till \displaystyle F .

Övning 22.7

Avbildningen \displaystyle F ges i plan ON-bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} av matrisen \displaystyle \left(\begin{array}{rrr} 2& -1 \\ 1 & 0\end{array}\right) . Bestäm egenvärden och egenvektorer till \displaystyle F . Finns det någon bas bestående av egenvärden och egenvektorer? Bestäm en ON-bas som innehåller så många egenvektorer som möjligt och bestäm \displaystyle F :s matris i denna bas.

Övning 22.8

Avgör om nedanstående matriser är diagonaliserbara och bestäm i så fall en matris \displaystyle T sådan att \displaystyle T^{-1}AT är en diagonalmatris:

a) \displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr} -3&-1&-1\\8&2&1\\-2&0&1\end{array}\right) , b) \displaystyle A= \left(\begin{array}{rrr} 1&-3&4\\4&-7&8\\6&-7&7\end{array}\right) , c) \displaystyle A= \left(\begin{array}{rrr} -1&3&-1\\-3&5&-1\\-3&3&1\end{array}\right)

d) \displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr} 1&3&3\\3&1&3\\-3&-3&-5\end{array}\right) , e) \displaystyle A= \left(\begin{array}{rrr} 3&-4&-4\\-1&3&2\\2&-4&-3\end{array}\right) .

Övning 22.9

Undersök diagonaliserbarheten hos matriserna

Övning 22.10

Den symmetriska avbildningen \displaystyle F:{\bf E^3}\rightarrow{\bf E^3} ges i en ON-bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} av matrisen

Bestäm en ON-bas bestående av egenvektorer till \displaystyle F .

Övning 22.11

Bestäm en ON-bas av egenvektorer till den linjära avbildning som i en viss ON-bas har matrisen

Övning 22.12

En linjär avbildning \displaystyle F på rummet har i ON-basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}= \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} matrisen

a) Bestäm konstanten \displaystyle a så att \displaystyle \boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2-2\boldsymbol{e}_3 blir en egenvektor till \displaystyle F .

b) Finn för detta \displaystyle a en ON-bas av egenvektorer för rummet.

c) Ge exempel på en högerorienterad ON-bas i b).