Loading http://wiki.sommarmatte.se/jsMath/fonts/msam10/def.js
To print higher-resolution math symbols, click the
Hi-Res Fonts for Printing button on the jsMath control panel.
No jsMath TeX fonts found -- using image fonts instead.
These may be slow and might not print well.
Use the jsMath control panel to get additional information.
jsMath Control PanelHide this Message

jsMath

Testsida

Förberedande kurs i matematik

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Rad 331: Rad 331:
</div>{{#NAVCONTENT:Svar| Svar 4.3.3 | Lösning 4.3.3.a | Lösning 4.3.3.a | Lösning 4.3.3.b |
</div>{{#NAVCONTENT:Svar| Svar 4.3.3 | Lösning 4.3.3.a | Lösning 4.3.3.a | Lösning 4.3.3.b |
Lösning 4.3.3.b}}
Lösning 4.3.3.b}}
 +
 +
===Övning 4.3.4===
 +
<div class="ovning">
 +
Våra produkt- och kvotregler för derivation är förvisso praktiska och tydliga. Emellanåt stöter man däremot på ett uttryck som verkar skrivet av någon särskilt sadistisk lärare.
 +
 +
Ett exempel följer:
 +
<math> y = \frac{abc}{de} </math>
 +
 +
Där a, b, c, d, e är deriverbara, men knepiga, funktioner av x.
 +
 +
Vad är då <math>\frac{dy}{dx}</math>? Finns det något smidigare sätt att lösa uppgiften på än upprepad använding av våra regler?
 +
 +
 +
</div>{{#NAVCONTENT: Lösning | Lösning 4.3.4}}

Versionen från 16 juli 2012 kl. 13.05

Innehåll

[göm]

Övning 1

Beräkna

a) (−3)(7+(−5)(−3+2)) b) (−a+2b)(−a+3b)

Svar | Lösning 1.1.a | Lösning 1.1b

Övning 2

Beräkna

a) Betrakta operationen \displaystyle a \bigstar b = a+2b. Är operationen kommutativ? (En operation är kommutativ den har egenskapen att \displaystyle a \bigstar b = b \bigstar a) b) Ge ett exempel på en operation som inte är associativ. (En operation är associativ om den har egenskapen att \displaystyle (a\bigstar b)\bigstar c=a\bigstar(b\bigstar c)) c) Ge ett exempel på en operation som inte är distributiv över addition. (En operation är distributiv över addition om \displaystyle a\bigstar(b+c)=a\bigstar b + a\bigstar c)

Svar | Lösning 1.2a | Lösning 1.2b | Lösning 1.2c



Övning 1.2.1

Primtalsfaktorisera

a) \displaystyle \displaystyle 1024 b) \displaystyle \displaystyle 1331

Lösning 1.2.1.a | Lösning 1.2.1.b

Övning 1.2.2

Hur många äkta delare har 23?

Lösning 1.2.2



Övning 1.4.1

a) Beräkna \displaystyle 38800\cdot5 modulo 3. b) Beräkna entalssiffran i talet \displaystyle 37^{120}.

Svar | Lösning 1.4.1.a | Lösning 1.4.1.b


Övning 1.4.2

a) Ett tal är jämnt delbart med två precis då dess entalssiffra är delbar med två. Bevisa detta med hjälp av moduloräkning. b) Ett heltals siffersumma är summan av siffrorna i talet. Till exempel är siffersumman av 354 lika med 3+5+4=12.Ett tal är jämnt delbart med tre precis då dess siffersumma är jämnt delbar med tre. Bevisa detta med hjälp av moduloräkning.

Svar | Lösning 1.4.2.a | Lösning 1.4.2.b

Övning 1.4.3

a) Ett tal är jämnt delbart med 5 precis då dess entalssiffra antingen är 0 eller 5. Bevisa detta med hjälp av moduloräkning. b) En alternerande siffersumma för ett tal är summan av siffrorna med växlande tecken. Till exempel är siffersumman hos 35478 lika med \displaystyle 3-5+4-7+8=-1. Ett tal är jämnt delbart med 11 precis då dess alternerande siffersumma är delbar med 11. Bevisa detta med hjälp av moduloräkning.

Svar | Lösning 1.4.3.a | Lösning 1.4.3.b

{Moduloräkning}


Övning 1.5.1

a) Konvertera talet \displaystyle 201_3 till bas 4. b) Det går att använda sig av baser högre än 10: till exempel kan vi räkna i basen elva. Då kommer vi behöva en symbol som representerar värdet 10 (här kan vi till exempel använda oss av symbolen \displaystyle \bigstar). Systemet fungerar precis likadant som för baser under tio: till exempel kan vi konvertera talet \displaystyle 13\bigstar02_{11} till basen 10 genom att räkna följande: \displaystyle 1*11^4+3*11^3+10*11^2+0*11^1+2*11^0=19846.

Konvertera nu talet \displaystyle 252_{10} till basen 11.

Svar | Lösning 1.5.1.a | Lösning 1.5.1.b

Övning 1.8.1

Förenkla \displaystyle (1+i)^{2012}-(1-i)^{2012}

Svar | Lösning 1.8.1


Övning 1.8.2

Antag att vi definierar en sekvens av komplexa tal genom \displaystyle z_1 =0

och \displaystyle z_{n+1}=z^2_n+i för \displaystyle n \geq 1. Hur långt från origo kommer då \displaystyle z_{111} befinna sig? (Källa: AHSME)

Svar | Lösning 1.8.2

Övning 1.8.3

För heltalsvärden på n, vilka värden kan \displaystyle i^n+i^{-n} anta?

Svar | Lösning 1.8.3

Övning 1.8.5

a) Är \displaystyle \sqrt{2} ett reellt eller komplext tal? b) Är \displaystyle 3+3i ett reellt eller ett komplext tal? c) Hitta alla komplexa rötter till \displaystyle p(z) = z^3+z=0 . Hur många reella rötter har \displaystyle p(z) Hur många komplexa rötter har den?

Kan en funktion ha fler reella än komplexa rötter?

Svar | Lösning 1.8.5a | Lösning 1.8.5b | Lösning 1.8.5c

Övning 1.9.1

a) Utveckla\displaystyle (x+y)²-(x-y)² b) Använd ovanstående för att beräkna \displaystyle 46 \cdot 54.

Svar | Lösning 1.9.1.a | Lösning 1.9.1.b

Övning 1.8.6

Låt \displaystyle z=a+bi. Vi vet att \displaystyle z/(3+4i)=2+i. Bestäm \displaystyle a och \displaystyle b.

Svar | Lösning 1.8.6


Övning 1.9.1

a) Utveckla\displaystyle (x+y)²-(x-y)² b) Använd ovanstående för att beräkna \displaystyle 46 \cdot 54.

Svar | Lösning 1.9.1.a | Lösning 1.9.1.b


Övning 2.1

Bestäm vilka av följande påståenden som är sanna för reella tal \displaystyle x.

a) \displaystyle x>2 \Rightarrow x\geq -1 b) \displaystyle x >2 \Leftarrow x \geq -1
c) \displaystyle x\geq 0\wedge x>1\Leftrightarrow x >1 d) \displaystyle x\geq 0 \Rightarrow x^2\geq 0 e) \displaystyle x^2<0 \Rightarrow x^2\geq 0

Svar | Lösning 2.1.1a | Lösning 2.1.1b | Lösning 2.1.1c | Lösning 2.1.1d | Lösning 2.1.1e


Övning 3.2.1

Låt \displaystyle f(x)=5x. Bestäm \displaystyle f:s värdemängd och avgör huruvida \displaystyle f är injektiv/surjektiv i vart och ett av följande fall:

a) \displaystyle f:\{3,5,6,7\} \to \mathbb{R} b) \displaystyle f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} c) \displaystyle f:\mathbb{R}\to \mathbb{C} d) \displaystyle f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}

Svar | Lösning 3.2.1.a | Lösning 3.2.1.b | Lösning 3.2.1.c | Lösning 3.2.1.d

Övning 3.2.2

Vissa funktioner har egenskapen att de är både injektiva och surjektiva, och vi kallar dessa funktioner bijektiva. En egenskap hos bijektiva funktioner är att målmängden och definitionsmängden innehåller precis lika många element. Detta är lätt att se med funktioner definierade på ändliga mängder, men samma resonemang används av matematiker för oändliga mängder. Vi säger då att två mängder har samma kardinalitet om och endast om vi kan skapa en bijektion mellan dem. Detta leder till lite märkliga samband. För att belysa ett av dem:

Kan man skapa en bijektion mellan de naturliga talen \displaystyle \mathbb{N} och heltalen \displaystyle \mathbb{Z}?

Svar | Lösning 3.2.2

Övning 3.2.4

I kurslitteraturen beskrivs injektivitet som att en funktion \displaystyle f:{T}\rightarrow{S} är injektiv om f avbildar "skilda värden på skilda värden". Detta kan man tolka som att \displaystyle a \neq b \Rightarrow f(a) \neq f(b). Detta påstående är däremot inte alltid så praktiskt att arbeta med. En enklare formulering är det ekvivalenta \displaystyle f(a)=f(b) \Rightarrow a = b . Vi kan läsa ut denna formulering som att "om avbildningen av två element är samma, så måste de två elementen också vara samma".

Använd \displaystyle f(a)=f(b) \Rightarrow a = b för att visa att följande funktioner är injektiva. Låt \displaystyle f, g, h, p:{R} \to {R}


a) \displaystyle f(x) = 4x + 5

b) \displaystyle g(x) = x^3

c) \displaystyle h(x) = e^{x}

d) \displaystyle p(x) = h(g(x))

Lösning a) | Lösning b) | Lösning c) | Lösning d)


Övning 3.5.1

Gäller Pythagoras sats för trianglar ritade på en sfär?

Bild:Triangel.jpg

Svar | Lösning 3.5.1

Övning 4.1.1

Beräkna följande gränsvärden.

a) \displaystyle \lim_{x\to 0}3 b) \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{x}{x^2} c) \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{x}{x} d) \displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{x^2+3}{x^3+1} e) \displaystyle lim_{x\to 0}\frac{2x^3+x^2+1}{x^3+1}

Svar | Lösning 4.1.1.a | Lösning 4.1.1.b | Lösning 4.1.1.c | Lösning 4.1.1.d | Lösning 4.1.1.e

Övning 4.2.1

Antag att vi får använda att \displaystyle D(x)=1 utan bevis.
a) Visa att \displaystyle D(x^2)=2x med hjälp av produktregeln. b) Visa att \displaystyle D(x^n)= nx^{n-1} om vi antar att man vet \displaystyle D(x^{n-1})=(n-1)x^{n-2}. c) Med hjälp av b), visa att \displaystyle D(x^n)=nx^{n-1} för alla \displaystyle n.

Svar | Lösning 4.2.1.a | Lösning 4.2.1.b | Lösning 4.2.1.c

Övning 4.3.1

a) Visa att \displaystyle -\ln(\cos x) är en primitiv funktion till \displaystyle \sin x/\cos x. b) Visa att \displaystyle x\ln(x) -x är en primitiv funktion till \displaystyle \ln (x).

Svar | Lösning 4.3.1.a | Lösning 4.3.1.b


Övning 4.3.2

Antag att vi har två deriverbara funktioner f och g så att f(x)=0 för alla x.

a) Skriv upp en formel för derivatan av \displaystyle f(x)^{g(x)} uttryckt i \displaystyle D(f(x)) och \displaystyle D(g(x)). b) Tillämpa formeln genom att derivera \displaystyle (x^2+1)^3. c) Derivera \displaystyle x^x då \displaystyle x>0. d) Derivera \displaystyle x^{\sin x} då \displaystyle x>0.

Svar | Lösning 4.3.2.a | Lösning 4.3.2.b | Lösning 4.3.2.c | Lösning 4.3.2.d

Övning 4.3.3

a) Derivera \displaystyle \sin x /x. b) Derivera \displaystyle \sin^3x + 3\sin x \cos x.

Svar | Lösning 4.3.3.a | Lösning 4.3.3.b

Övning 4.3.4

Våra produkt- och kvotregler för derivation är förvisso praktiska och tydliga. Emellanåt stöter man däremot på ett uttryck som verkar skrivet av någon särskilt sadistisk lärare.

Ett exempel följer: \displaystyle y = \frac{abc}{de}

Där a, b, c, d, e är deriverbara, men knepiga, funktioner av x.

Vad är då \displaystyle \frac{dy}{dx}? Finns det något smidigare sätt att lösa uppgiften på än upprepad använding av våra regler?


Lösning

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/forberedandematte/index.php/Testsida