Testsida

Förberedande kurs i matematik

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Nuvarande version (17 juli 2012 kl. 13.43) (redigera) (ogör)
 
(23 mellanliggande versioner visas inte.)
Rad 106: Rad 106:
</div>{{#NAVCONTENT:Svar| Svar 1.5.1 | Lösning 1.5.1.a | Lösning 1.5.1.a | Lösning 1.5.1.b |
</div>{{#NAVCONTENT:Svar| Svar 1.5.1 | Lösning 1.5.1.a | Lösning 1.5.1.a | Lösning 1.5.1.b |
Lösning 1.5.1.b}}
Lösning 1.5.1.b}}
 +
 +
===Övning 1.8.1 ===
 +
<div class="ovning">
 +
{| width="100%" cellspacing="10px"
 +
|Förenkla <math> (1+i)^{2012}-(1-i)^{2012} </math>
 +
||
 +
|}
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar| Svar 1.8.1 | Lösning 1.8.1 | Lösning 1.8.1}}
 +
 +
 +
===Övning 1.8.2 ===
 +
<div class="ovning">
 +
{| width="100%" cellspacing="10px"
 +
|Antag att vi definierar en sekvens av komplexa tal genom <math>z_1 =0 </math>
 +
och <math> z_{n+1}=z^2_n+i </math> för <math> n \geq 1</math>. Hur långt från origo kommer då <math> z_{111} </math> befinna sig? (Källa: AHSME)
 +
||
 +
|}
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar| Svar 1.8.2 | Lösning 1.8.2 | Lösning 1.8.2}}
 +
 +
===Övning 1.8.3 ===
 +
<div class="ovning">
 +
{| width="100%" cellspacing="10px"
 +
|För heltalsvärden på n, vilka värden kan <math> i^n+i^{-n}</math> anta?
 +
||
 +
|}
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar| Svar 1.8.3 | Lösning 1.8.3 | Lösning 1.8.3}}
 +
 +
===Övning 1.8.5 ===
 +
<div class="ovning">
 +
{|width="100%" cellspacing="10px"
 +
| a)
 +
| Är <math> \sqrt{2} </math> ett reellt eller komplext tal?
 +
| b)
 +
| Är <math>3+3i </math> ett reellt eller ett komplext tal?
 +
| c)
 +
| Hitta alla komplexa rötter till <math>p(z) = z^3+z=0 </math>. Hur många reella rötter har <math>p(z)</math> Hur många komplexa rötter har den?
 +
Kan en funktion ha fler reella än komplexa rötter?
 +
 +
||
 +
|}
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar | Svar 1.8.5 | Lösning 1.8.5a | Lösning 1.8.5a | Lösning 1.8.5b | Lösning 1.8.5b | Lösning 1.8.5c | Lösning 1.8.5c }}
 +
===Övning 1.9.1 ===
 +
<div class="ovning">
 +
{| width="100%" cellspacing="10px"
 +
|a)
 +
|Utveckla<math> (x+y)²-(x-y)² </math>
 +
|b)
 +
| Använd ovanstående för att beräkna <math> 46 \cdot 54</math>.
 +
||
 +
|}
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar| Svar 1.9.1 | Lösning 1.9.1.a | Lösning 1.9.1.a | Lösning 1.9.1.b | Lösning 1.9.1.b}}
 +
 +
===Övning 1.8.6===
 +
<div class="ovning">
 +
{|width="100%" cellspacing="10px"
 +
| Låt <math>z=a+bi</math>. Vi vet att <math>z/(3+4i)=2+i</math>. Bestäm <math> a </math> och <math> b</math>.
 +
 +
||
 +
|}
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar | Svar 1.8.6 | Lösning 1.8.6 | Lösning 1.8.6}}
 +
 +
 +
 +
===Övning 1.9.1 ===
 +
<div class="ovning">
 +
{| width="100%" cellspacing="10px"
 +
|a)
 +
|Utveckla<math> (x+y)²-(x-y)² </math>
 +
|b)
 +
| Använd ovanstående för att beräkna <math> 46 \cdot 54</math>.
 +
||
 +
|}
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar| Svar 1.9.1 | Lösning 1.9.1.a | Lösning 1.9.1.a | Lösning 1.9.1.b | Lösning 1.9.1.b}}
Rad 127: Rad 200:
</div>{{#NAVCONTENT:Svar| Svar 2.1.1| Lösning 2.1.1a | Lösning 2.1.1a | Lösning 2.1.1b |
</div>{{#NAVCONTENT:Svar| Svar 2.1.1| Lösning 2.1.1a | Lösning 2.1.1a | Lösning 2.1.1b |
Lösning 2.1.1b | Lösning 2.1.1c | Lösning 2.1.1c | Lösning 2.1.1d | Lösning 2.1.1d | Lösning 2.1.1e | Lösning 2.1.1e }}
Lösning 2.1.1b | Lösning 2.1.1c | Lösning 2.1.1c | Lösning 2.1.1d | Lösning 2.1.1d | Lösning 2.1.1e | Lösning 2.1.1e }}
 +
 +
 +
===Övning 3.2.1 ===
 +
<div class="ovning">
 +
Låt <math>f(x)=5x</math>. Bestäm <math>f</math>:s värdemängd och avgör huruvida
 +
<math>f</math> är injektiv/surjektiv i vart och ett av följande fall:
 +
 +
{| width="100%" cellspacing="10px"
 +
|a)
 +
|<math> f:\{3,5,6,7\} \to \mathbb{R} </math>
 +
|b)
 +
| <math> f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} </math>
 +
| c)
 +
| <math> f:\mathbb{R}\to \mathbb{C} </math>
 +
| d)
 +
| <math> f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z} </math>
 +
||
 +
|}
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar| Svar 3.2.1 | Lösning 3.2.1.a | Lösning 3.2.1.a | Lösning 3.2.1.b | Lösning 3.2.1.b | Lösning 3.2.1.c | Lösning 3.2.1.c | Lösning 3.2.1.d | Lösning 3.2.1.d}}
 +
 +
===Övning 3.2.2===
 +
<div class="ovning">
 +
{| width="100%" cellspacing="10px"
 +
Vissa funktioner har egenskapen att de är både injektiva och surjektiva, och vi kallar dessa funktioner bijektiva. En egenskap hos bijektiva funktioner är att målmängden och definitionsmängden innehåller precis lika många element. Detta är lätt att se med funktioner definierade på ändliga mängder, men samma resonemang används av matematiker för oändliga mängder. Vi säger då att två mängder har samma kardinalitet om och endast om vi kan skapa en bijektion mellan dem. Detta leder till lite märkliga samband. För att belysa ett av dem:
 +
|
 +
Kan man skapa en bijektion mellan de naturliga talen <math>\mathbb{N}</math> och heltalen <math>\mathbb{Z}</math>?
 +
|}</div>{{#NAVCONTENT:Svar| Svar 3.2.2 | Lösning 3.2.2 | Lösning 3.2.2}}
 +
 +
===Övning 3.2.4===
 +
<div class="ovning">
 +
I kurslitteraturen beskrivs injektivitet som att en funktion <math>f:{T}\rightarrow{S}</math> är injektiv om f avbildar "skilda värden på skilda värden". Detta kan man tolka som att <math>a \neq b \Rightarrow f(a) \neq f(b)</math>. Detta påstående är däremot inte alltid så praktiskt att arbeta med. En enklare formulering är det ekvivalenta <math> f(a)=f(b) \Rightarrow a = b</math> . Vi kan läsa ut denna formulering som att "om avbildningen av två element är samma, så måste de två elementen också vara samma".
 +
 +
Använd <math> f(a)=f(b) \Rightarrow a = b</math> för att visa att följande funktioner är injektiva. Låt <math>f, g, h, p:{R} \to {R}</math>
 +
 +
 +
a) <math>f(x) = 4x + 5 </math>
 +
 +
b) <math>g(x) = x^3 </math>
 +
 +
c) <math>h(x) = e^{x}</math>
 +
 +
d) <math>p(x) = h(g(x))</math>
 +
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Lösning a)| Lösning 3.2.4a | Lösning b) | Lösning 3.2.4b | Lösning c) | Lösning 3.2.4c | Lösning d) | Lösning 3.2.4d}}
Rad 134: Rad 251:
|Gäller Pythagoras sats för trianglar ritade på en sfär?
|Gäller Pythagoras sats för trianglar ritade på en sfär?
||
||
 +
[[Bild:Triangel.jpg]]
|}
|}
</div>{{#NAVCONTENT:Svar| Svar 3.5.1 | Lösning 3.5.1 | Lösning 3.5.1}}
</div>{{#NAVCONTENT:Svar| Svar 3.5.1 | Lösning 3.5.1 | Lösning 3.5.1}}
 +
===Övning 4.1.1 ===
 +
<div class="ovning">
 +
Beräkna följande gränsvärden.
 +
{| width="100%" cellspacing="10px"
 +
|a)
 +
| <math>\lim_{x\to 0}3 </math>
 +
| b)
 +
| <math> \lim_{x\to 0}\frac{x}{x^2} </math>
 +
| c)
 +
| <math> \lim_{x\to 0}\frac{x}{x} </math>
 +
| d)
 +
| <math> \lim_{x\to \infty}\frac{x^2+3}{x^3+1} </math>
 +
| e)
 +
| <math> lim_{x\to 0}\frac{2x^3+x^2+1}{x^3+1} </math>
 +
||
 +
|}
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar | Svar 4.1.1 | Lösning 4.1.1.a | Lösning 4.1.1.a | Lösning 4.1.1.b | Lösning 4.1.1.b | Lösning 4.1.1.c | Lösning 4.1.1.c | Lösning 4.1.1.d | Lösning 4.1.1.d | Lösning 4.1.1.e | Lösning 4.1.1.e }}
===Övning 4.2.1===
===Övning 4.2.1===
Rad 152: Rad 287:
Lösning 4.2.1.b | Lösning 4.2.1.c | Lösning 4.2.1.c}}
Lösning 4.2.1.b | Lösning 4.2.1.c | Lösning 4.2.1.c}}
 +
===Övning 4.3.1===
 +
<div class="ovning">
 +
{| width="100%" cellspacing="10px"
 +
| a)
 +
|Visa att <math>-\ln(\cos x)</math> är en primitiv funktion till <math>\sin x/\cos x.</math>
 +
| b)
 +
| Visa att <math>x\ln(x) -x</math> är en primitiv funktion till <math>\ln (x).</math>
 +
|
 +
||
 +
|}
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar| Svar 4.3.1 | Lösning 4.3.1.a | Lösning 4.3.1.a | Lösning 4.3.1.b |
 +
Lösning 4.3.1.b}}
-
\section{Kapitel 2}
 
-
{Logik}
 
-
\subsubsection{ }
 
-
Bestäm vilka av följande påståenden som är sanna för reella tal <math>x</math>.
 
-
\begin{list}{ }{ }
 
-
\item a) <math>x>2 \Rightarrow x\geq -1</math>
 
-
\item b) <math>x >2 \Leftarrow x \geq -1</math>
 
-
\item c) <math>x\geq 0\wedge x>1\Leftrightarrow x >1</math>
 
-
\item d) <math>x\geq 0 \Rightarrow x^2\geq 0</math>
 
-
\item e) <math>x^2<0 \Rightarrow x^2\geq 0</math>
 
-
\end{list}
 
-
Exempellösningar:
 
-
a) Vi vet att <math>2</math> är större än <math>-1</math>. Om vi har ett <math>x</math> som är större än <math>2</math> så vet vi att det också måste vara större än <math>-1</math>. Det är just precis detta som den logiska formeln betyder och alltså är den sann.
 
-
b) Betrakta till exempen <math>x=0</math>. Vi ser att då att <math>x</math> är större än <math>-1</math> men inte större än <math>2</math>. Påståendet säger att alla tal som är större än <math>-1</math> är också större än <math>2</math>. Detta kan inte vara sant då vi precis gav ett motexempel.
+
===Övning 4.3.2===
 +
<div class="ovning">
 +
Antag att vi har två deriverbara funktioner f och g så att f(x)=0 för alla x.
 +
{| width="100%" cellspacing="10px"
 +
| a)
 +
|Skriv upp en formel för derivatan av <math>f(x)^{g(x)}</math> uttryckt i <math>D(f(x))</math> och <math>D(g(x)).</math>
 +
| b)
 +
| Tillämpa formeln genom att derivera <math>(x^2+1)^3.</math>
 +
| c)
 +
| Derivera <math>x^x</math> då <math>x>0</math>.
 +
| d)
 +
| Derivera <math>x^{\sin x}</math> då <math>x>0</math>.
 +
||
 +
|}
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar| Svar 4.3.2 | Lösning 4.3.2.a | Lösning 4.3.2.a | Lösning 4.3.2.b |
 +
Lösning 4.3.2.b | Lösning 4.3.2.c | Lösning 4.3.2.c | Lösning 4.3.2.d | Lösning 4.3.2.d}}
-
c) Vi börjar med att undersöka om <math>x\geq 0\wedge x>1\Rightarrow x >1</math> gäller. <math>\wedge</math> betyder att båda utsagorna gäller, särskilt <math>x>1</math>. Men det är precis vad vi ska undersöka om det medför. Därför gäller <math>x\geq 0\wedge x>1\Rightarrow x >1</math>. Gäller även <math>x\geq 0\wedge x>1\Leftarrow x >1</math>? Genom samma resonemang som i a) så ser vi att <math>x\geq 0\Leftarrow x >1</math>. Uppenbarligen gäller även <math> x>1\Leftarrow x >1</math>. Eftersom <math>x>1</math> medför båda utsagorna så gäller <math>x\geq 0\wedge x>1\Leftarrow x >1</math> per definition. Vi vet nu att <math>x\geq 0\wedge x>1\Rightarrow x >1</math> och <math>x\geq 0\wedge x>1\Leftarrow x >1</math> är sanna; detta innebär definitionsmässigt att utsagan <math>x\geq 0\wedge x>1\Leftrightarrow x >1</math> är sann.
+
===Övning 4.3.3===
 +
<div class="ovning">
 +
{| width="100%" cellspacing="10px"
 +
| a)
 +
| Derivera <math>\sin x /x</math>.
 +
| b)
 +
| Derivera <math>\sin^3x + 3\sin x \cos x.</math>
 +
|
 +
||
 +
|}
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar| Svar 4.3.3 | Lösning 4.3.3.a | Lösning 4.3.3.a | Lösning 4.3.3.b |
 +
Lösning 4.3.3.b}}
-
d) Påståendet betyder att kvadraten på positiva tal är positiva. Eftersom vi pratar om reella tal gäller detta och utsagan är sann. Notera att vi skulle kunna säga att utsagan är sann utan att veta vad som stod till vänster då <math>x^2</math> alltid är positivt för alla reella <math>x</math>.
+
===Övning 4.3.4===
 +
<div class="ovning">
 +
Våra produkt- och kvotregler för derivation är förvisso praktiska och tydliga. Emellanåt stöter man däremot på ett uttryck som verkar skrivet av någon särskilt sadistisk lärare.
-
e) Utsagan är sann enligt sista kommentaren på förra uppgiften. Notera att detta gäller även då det som står till vänster är falskt och att utsagan säger att ett tal som antas vara negativt ska vara positivt.
+
Ett exempel följer:
-
\section{Kapitel 3}
+
<math> y = \frac{abc}{de} </math>
-
{Mängdlära}
+
-
Låt <math>A=\{1,2,4\}</math> och <math>B=\{3,4\}</math>. Bestäm <math>A\cup B</math>, <math>A\cap B</math>, <math>A\setminus B</math> och <math>B \setminus A</math>.
+
Där a, b, c, d, e är deriverbara, men knepiga, funktioner av x.
-
Exempellösning:
+
Vad är då <math>\frac{dy}{dx}</math>? Finns det något smidigare sätt att lösa uppgiften på än upprepad använding av våra regler?
-
Alla siffror från <math>1</math> till <math>4</math> ligger i antingen <math>A</math> eller <math>B</math>. Alltså är <math>A\cup B = \{1,2,3,4\}</math>. Den enda gemensamma siffran i <math>A</math> och <math>B</math> är siffran <math>4</math>. Alltså är <math>A\cap B = \{4\}</math>. <math>A</math> innehåller <math>1</math>, <math>2</math> och <math>4</math> och av dessa innehåller <math>B</math> siffran <math>4</math>. Alltså är <math>A\setminus B = \{1,2\}</math>. <math>B</math> innehåller <math>3</math> och <math>4</math> och av dessa innehåller <math>A</math> siffran <math>4</math>. Alltså är <math>B\setminus A = \{3\}</math>.
+
-
Visa att <math>(A\setminus B )\cup (B\setminus A) \cup (A\cap B)= A \cup B</math>.
+
</div>{{#NAVCONTENT: Lösning | Lösning 4.3.4}}
-
Exempellösning:
+
-
Vi vill se att alla element i den första mängden ligger i den andra mängden och att alla element i den andra mängden ligger i den första. I så fall vet vi att mänderna är lika.
+
-
{\bf Del 1}: Visa att <math>(A\setminus B )\cup (B\setminus A) \cup (A\cap B)</math> ligger i <math> A \cup B</math>.
+
-
<math>A\setminus B </math> ligger i <math>A</math> som ligger i <math>A\cup B</math>.
+
-
<math>B\setminus A</math> ligger i <math>B</math> som ligger i <math>A\cup B</math>.
+
-
<math>A\cap B</math> ligger i <math>A</math> som ligger i <math>A\cup B</math>.
+
-
Därför vet vi att del 1 stämmer.
+
-
{\bf Del 2}: Visa att <math> A \cup B</math> ligger i <math>(A\setminus B )\cup (B\setminus A) \cup (A\cap B)</math>.
+
-
Detta kommer att visas genom att delas upp i fall. Per definition så vet vi att ett element i <math>A\cup B</math> ligger i <math>A</math> eller <math>B</math>. Om vi antar att det finns i <math>A</math> så finns det ytterligare alternativ, antingen finns det i <math>B</math> också eller så gör det inte det. Ifall det finns i <math>B</math> också så finns det i <math>A\cap B</math>. Om det inte finns i <math>B</math> också så finns det i <math>A\setminus B</math>. Och om det nu inte fanns i <math>A</math> alls så finns det i <math>B\setminus A</math>. Alltså, om <math>x</math> ligger i <math>A\cup B</math> så finns det i någon av <math>A\cap B</math>, <math>A\setminus B</math> och <math>B\setminus A</math>. Och det var precis det vi ville visa.
+
-
{Funktionsbegreppet}
+
===Övning 4.3.5===
-
 
+
<div class="ovning">
-
Bestäm om följande funktioner är injektiva respektive surjektiva.
+
Implicit derivering går att använda till mer än jobbiga produkter. Tycker man att det är kämpigt att memorera derivator eller att ta till h-derivatan så kan vi använda denna metod istället när vi vill ta fram inversa derivator.
-
\begin{list}{}{}
+
-
\item a) <math>f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math> så att <math>f(x)= x^2</math>.
+
-
\item b) <math>g:\mathbb{R}_+\rightarrow \mathbb{R}</math> så att <math>g(x)= -x-3</math>. <math>\mathbb{R}_+</math> definieras som <math>\mathbb{R}_+ = \{x\in \mathbb{R}\mid x>0\}.</math>
+
-
\item c) <math>h:\mathbb{R}_+\rightarrow \mathbb{R}</math> så att <math>h(x) = -\sqrt{x}</math>.
+
-
\item d) <math>r</math> definierad genom <math>r(x) = f(g(x))</math>.
+
-
\item e) <math>s</math> definierad genom <math>s(x) = f(h(x))</math>.
+
-
\end{list}
+
-
Exempellösningar:
+
-
a)
+
-
\begin{list}{}{}
+
-
\item Definitionsmängd: <math>\mathbb{R}</math>
+
-
\item Målmängd: <math>\mathbb{R}</math>
+
-
\item Värdemängd: <math>\{x\in \mathbb{R}\mid x\geq0\}</math>
+
-
\item Surjektivitet: Nej, inga negativa tal antas.
+
-
\item Injektivitet: Nej, till exempel är <math>f(-1)=f(1)=1</math>.
+
-
\end{list}
+
-
b)
+
-
\begin{list}{}{}
+
-
\item Definitionsmängd:<math>\mathbb{R}_+</math>
+
-
\item Målmängd: <math>\mathbb{R}</math>
+
-
\item Värdemängd: <math>\{x\in \mathbb{R}\mid x<-3\}</math>
+
-
\item Surjektivitet: Nej, till exempel så ligger inte <math>0</math> i värdemängden.
+
-
\item Injektivitet: Ja, om vi antar att <math>g(x_1)=g(x_2)</math> så följer <math>-x_1-3=-x_2-3</math> vilket innebär att <math>x_1=x_2.</math>
+
-
\end{list}
+
-
c)
+
-
\begin{list}{}{}
+
-
\item Definitionsmängd: <math>\mathbb{R}_+</math>
+
-
\item Målmängd: <math>\mathbb{R}</math>
+
-
\item Värdemängd: <math>\mathbb{R}_- =\{x\in \mathbb{R}\mid x<0\}</math>.
+
-
\item Surjektivitet: Nej, alla reella antas inte.
+
-
\item Injektivitet: Ja, eftersom funktionen är strikt avtagande hela tiden kan den inte ha samma värde två gånger.
+
-
\end{list}
+
-
d)
+
-
\begin{list}{}{}
+
-
\item Definitionsmängd: <math>\mathbb{R}_+</math> eftersom den inre funktionen har det.
+
-
\item Målmängd: <math>\mathbb{R}</math> eftersom den yttre funktionen har det.
+
-
\item Värdemängd: Vi har <math>r(x) = f(g(x)) = (-x-3)^2 = x^2+6x+9.</math> För de <math>x</math> där den är definierad ökar funktionen. Sätter vi in <math>0</math> får vi <math>9</math> vilket innebär att värdemängden är <math>\{x\in \mathbb{R}\mid x>9\}.</math>
+
-
\item Surjektivitet: Nej, eftersom till exempel inte <math>0</math> finns i värdemängden.
+
-
\item Injektivitet: Ja, eftersom funktionen är strikt ökande där den är definierad. Notera att detta inte varit sant ifall vi tagit hela <math>\mathbb{R}</math> som definitionsmängd.
+
-
\end{list}
+
-
e)
+
-
\begin{list}{}{}
+
-
\item Definitionsmängd: <math>\mathbb{R}_+</math> eftersom den inre funktionen har det.
+
-
\item Målmängd: <math>\mathbb{R}</math> eftersom den yttre funktionen har det.
+
-
\item Värdemängd: Vi har <math>s(x) = f(h(x)) = (-\sqrt{x})^2 = |x| = x.</math> Vi kan ta bort absolutbeloppet eftersom vi bara tittar på positiva <math>x</math>. Värdemängden är alltså <math>\mathbb{R}_+.</math>
+
-
\item Surjektivitet: Nej, Till exempel <math>0</math> antas inte.
+
-
\item Injektivitet: Om vi antar att <math>s(x_1)=s(x_2)</math> så betyder det att <math>x_1=x_2</math> och alltså är den injektiv.
+
-
\end{list}
+
-
 
+
-
 
+
-
 
+
-
Låt <math>f:\mathbb{R}\rightarrow \{x\in \mathbb{R}\mid x\geq 0\}</math> så att <math>f(x)=x^2</math> och <math>g:\{x\in \mathbb{R}\mid x\geq 0\} \rightarrow \mathbb{R}</math> så att <math>g(x) = -\sqrt{x}.</math> Bestäm målmängd, definitionsmängd, värdemängd, surjektivitet och injektivitet för <math>f</math>, <math>g</math> och <math>h</math> definierad genom <math>h(x) = f(g(x)).</math>
+
-
Exempellösning:
+
-
f:
+
-
\begin{list}{}{}
+
-
\item Definitionsmängd: <math>\mathbb{R}</math>
+
-
\item Målmängd: <math>\{x\in \mathbb{R}\mid x\geq0\}</math>
+
-
\item Värdemängd: <math>\{x\in \mathbb{R}\mid x\geq0\}</math>
+
-
\item Surjektivitet: Ja, mål- och värdemängd är lika.
+
-
\item Injektivitet: Nej, till exempel är <math>f(-1)=f(1)=1</math>.
+
-
\end{list}
+
-
g:
+
-
\begin{list}{}{}
+
-
\item Definitionsmängd: <math>\{x\in \mathbb{R}\mid x\geq0\}</math>
+
-
\item Målmängd: <math>\mathbb{R}</math>
+
-
\item Värdemängd: <math>\{x\in \mathbb{R}\mid x\leq0\}</math>
+
-
\item Surjektivitet: Nej, inga positiva tal antas.
+
-
\item Injektivitet: Ja, eftersom funktionen är strikt avtagande.
+
-
\end{list}
+
-
h:
+
-
\begin{list}{}{}
+
-
\item Definitionsmängd: <math>\{x\in \mathbb{R}\mid x\geq0\}</math>
+
-
\item Målmängd: <math>\{x\in \mathbb{R}\mid x\geq0\}</math>
+
-
\item Värdemängd: <math>\{x\in \mathbb{R}\mid x\geq0\}</math>
+
-
\item Surjektivitet: Ja, eftersom mål- och värdemängd är lika.
+
-
\item Injektivitet: Vi har <math>h(x)=f(g(x))=(-\sqrt{x})^2 = x</math> så den är injektiv.
+
-
\end{list}
+
-
Notera att <math>h</math> är bijektiv trots att varken <math>f</math> eller <math>g</math> är det.
+
-
 
+
-
{Grafritning och reella funktioner}
+
-
 
+
-
a) Lös ekvationen <math>\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}=0.</math>
+
-
b) Lös ekvationen <math>\frac{x+1}{x^2-4}+\frac{x}{x+2}=0</math>
+
-
Exempellösningar:
+
-
a)<math></math>\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}=\frac{x+1}{(x-1)(x+1)}+\frac{x-1}{(x+1)(x-1)}=\frac{x+1+x-1}{(x+1)(x-1)}=\frac{2x}{(x+1)(x-1)}<math></math>
+
-
Förläng sedan med <math>(x+1)(x-1)</math> och få ekvationen <math>2x=0.</math> Lösningen till ekvationen är därför <math>x=0.</math>
+
-
b) <math></math>\frac{x+1}{x^2-4}+\frac{x}{x+2}=\frac{x+1}{(x-2)(x+2)}+\frac{x(x-2)}{(x+2)(x-2)} = \frac{x^2-x+1}{(x+2)(x-2)}<math></math> Förläng med <math>(x+2)(x-2)</math> för att få ekvationen <math>x^2-x+1=0.</math> Denna löses till exempel med kvadratkomplettering vilket ger lösningarna <math>x_1= 1/2+i\sqrt{3}/2</math> och <math>x_2= 1/2-i\sqrt{3}/2</math>.
+
-
.
+
-
 
+
-
 
+
-
 
+
-
 
+
-
\subsubsection{ }
+
-
Antag att vi har två deriverbara funktioner <math>f</math> och <math>g</math> så att <math>f(x)\neq0</math> för alla <math>x</math>.
+
-
a) Skriv upp en formel för derivatan av <math>f(x)^{g(x)}</math> uttryckt i <math>D(f(x))</math> och <math>D(g(x)).</math>
+
-
b) Tillämpa formeln genom att derivera <math>(x^2+1)^3.</math>
+
-
c) Derivera <math>x^x</math> då <math>x>0</math>.
+
-
d) Derivera <math>x^{\sin x}</math> då <math>x>0</math>.
+
-
Exempellösning:
+
-
a) Börja med att skriva <math>f(x)^{g(x)}= e^{\ln(f(x)^{g(x)})}= e^{g(x)\cdot \ln(f(x))}.</math> Med hjälp av kedjeregeln får vi då <math>D(f(x)^{g(x)})=D(e^{g(x)\cdot \ln(f(x))}) = D(g(x)\cdot \ln{(f(x))})\cdot e^{g(x)\cdot \ln((f(x))} = D(g(x)\cdot \ln{(f(x))} )\cdot f(x)^{g(x)}.</math>
+
-
För att beräkna <math>D(g(x)\cdot \ln{(f(x))})</math> använder vi produktregeln. <math>D(g(x)\cdot \ln{(f(x))})= D(g(x))\cdot \ln{(f(x))})+ g(x)\cdot D(\ln(f(x)) =D(g(x))\cdot \ln{(f(x)})+ g(x)\cdot \frac{D(f(x))}{f(x)}.</math> Sammanfattningsvis får vi då <math>D(f(x)^{g(x)})=\left(D(g(x))\cdot \ln{(f(x)})+ g(x)\cdot \frac{D(f(x))}{f(x)}\right)\cdot f(x)^{g(x)}.</math>
+
-
b) Om vi låter <math>f(x) =x^2+1</math> och <math>g(x)=3</math> så kan vi använda formeln från a). Vi har <math>D(f(x))= 2x</math> och <math>D(g(x))=0.</math> Vi får då <math>D((x^2+1)^3)= (x^2+1)^3\left(0\cdot \ln(x^2+1)+3\frac{2x}{x^2+1}\right)= 6x(x^2+1)^2.</math>
+
-
c) Låt <math>f(x)=x</math> och <math>g(x)= x</math>. Vi har <math>D(f(x))=D(g(x))=1.</math> Vi får då <math>D(x^x)=x^x\left(1\cdot \ln(x)+x\cdot \frac{1}{x}\right)= x^x\left(\ln(x)+1\right).</math>
+
-
d) Låt <math>f(x)=x</math> och <math>g(x)=\sin x.</math> Vi har <math>D(f(x))=1</math> och <math>D(g(x))= \cos x.</math> Vi får då <math>D(x^{\sin x})= x^{\sin x}\left( \cos x \ln (x) + \frac{\sin x}{x}\right).</math>
+
-
 
+
-
\subsubsection{ }
+
-
a) Derivera <math>\sin x /x</math>.
+
-
b) Derivera <math>\sin^3x + 3\sin x \cos x.</math>
+
-
Exempellösning:
+
-
a) Kvotregeln ger oss <math>D(\sin x/ x)=\frac{x\cos x -\sin x}{x^2}.</math>
+
-
b) Genom att använda produktregeln och kedjeregeln får vi <math>D(\sin^3x + 3\sin x \cos x)= D(\sin^3x) + D(3\sin x \cos x)= 3\sin^2 x \cos x + 3(\cos^2 x-\sin^2 x).</math>
+
-
 
+
-
\section{Kapitel 4}
+
-
{Integraler}
+
-
 
+
-
\subsubsection{ }
+
-
a) Visa att <math>-\ln(\cos x)</math> är en primitiv funktion till <math>\sin x/\cos x.</math>
+
-
b) Visa att <math>x\ln(x) -x</math> är en primitiv funktion till <math>\ln (x).</math>
+
-
Exempellösningar:
+
-
a) En primitiv funktion till <math>f</math> är en funktion vars derivata är <math>f</math>. Därför deriverar vi <math>-\ln(\cos x)</math> för att se om det stämmer. <math>D(-\ln(\cos x))= (-\sin x)\frac{-1}{\cos x}= \sin x/ \cos x</math> via kedjeregeln. Detta bekräftar att <math>-\ln(\cos x)</math> är en primitiv funktion till <math>\sin x/ \cos x</math>.
+
-
b) Vi gör som i a) och deriverar. <math>D(x\ln(x) -x)= D(x\ln (x))-D(x)=D(x)\ln (x) + xD(\ln (x))-1= \ln (x) +1-1= \ln (x).</math> Detta bekräftar att det är en primitiv funktion.
+
 +
Kom ihåg hur vi använde kedjeregeln i föregående uppgift, och försök härleda derivatan till y=arcsin(x). Antag att vi redan vet derivatan för sin(x).
-
Ge ett exempel på en funktion som inte är integrerbar på intervallet <math>[0,1]</math>.
+
</div>{{#NAVCONTENT:Lösning | Lösning 4.3.5}}
-
Exempellösning:
+
-
Studera funktionen <math>f</math> som är definierad genom att vi sätter <math>f(x)= 1</math> om <math>x</math> är ett rationellt tal och <math>f(x)=0</math> och <math>x</math> är irrationellt. Antag att vi har gjort någon indelning av intervallet. På varje delintervall kommer det största värdet vara <math>1</math> och det minsta värdet vara <math>0</math> eftersom det alltid finns både rationella och irrationella tal i varje delintervall. Översumman blir då <math>S_n = \sum_{i=1}^nM_i\Delta_x = \sum_{i=1}^n1\cdot\Delta_x = 1.</math> Undersumman blir <math>s_n = \sum_{i=1}^nm_i\Delta_x = \sum_{i=1}^n0\cdot\Delta_x = 0.</math> Notera att detta gäller oavsett vilken indelning vi gjort. Därför kommer över- och undersumman aldrig att närma sig varandra och därför kan funktionen inte vara integrerbar.
+

Nuvarande version

Innehåll

Övning 1

Beräkna

a) \displaystyle \displaystyle(-3)(7+(-5)(-3+2)) b) \displaystyle \displaystyle (-a+2b)(-a+3b)
Svar
Svar 1.1
Lösning 1.1.a
Lösning 1.1a
Lösning 1.1b
Lösning 1.1b

Övning 2

Beräkna

a) Betrakta operationen \displaystyle a \bigstar b = a+2b. Är operationen kommutativ? (En operation är kommutativ den har egenskapen att \displaystyle a \bigstar b = b \bigstar a) b) Ge ett exempel på en operation som inte är associativ. (En operation är associativ om den har egenskapen att \displaystyle (a\bigstar b)\bigstar c=a\bigstar(b\bigstar c)) c) Ge ett exempel på en operation som inte är distributiv över addition. (En operation är distributiv över addition om \displaystyle a\bigstar(b+c)=a\bigstar b + a\bigstar c)
Svar
Svar 1.2
Lösning 1.2a
Lösning 1.2.a
Lösning 1.2b
Lösning 1.2b
Lösning 1.2c
Lösning 1.2c



Övning 1.2.1

Primtalsfaktorisera

a) \displaystyle \displaystyle 1024 b) \displaystyle \displaystyle 1331
Lösning 1.2.1.a
Lösning 1.2.1.a
Lösning 1.2.1.b
Lösning 1.2.1.b

Övning 1.2.2

Hur många äkta delare har 23?

Lösning 1.2.2
Lösning 1.2.2



Övning 1.4.1

a) Beräkna \displaystyle 38800\cdot5 modulo 3. b) Beräkna entalssiffran i talet \displaystyle 37^{120}.
Svar
Svar 1.4
Lösning 1.4.1.a
Lösning 1.4.1.a
Lösning 1.4.1.b
Lösning 1.4.1.b


Övning 1.4.2

a) Ett tal är jämnt delbart med två precis då dess entalssiffra är delbar med två. Bevisa detta med hjälp av moduloräkning. b) Ett heltals siffersumma är summan av siffrorna i talet. Till exempel är siffersumman av 354 lika med 3+5+4=12.Ett tal är jämnt delbart med tre precis då dess siffersumma är jämnt delbar med tre. Bevisa detta med hjälp av moduloräkning.
Svar
Svar 1.42
Lösning 1.4.2.a
Lösning 1.4.2.a
Lösning 1.4.2.b
Lösning 1.4.2.b

Övning 1.4.3

a) Ett tal är jämnt delbart med 5 precis då dess entalssiffra antingen är 0 eller 5. Bevisa detta med hjälp av moduloräkning. b) En alternerande siffersumma för ett tal är summan av siffrorna med växlande tecken. Till exempel är siffersumman hos 35478 lika med \displaystyle 3-5+4-7+8=-1. Ett tal är jämnt delbart med 11 precis då dess alternerande siffersumma är delbar med 11. Bevisa detta med hjälp av moduloräkning.
Svar
Svar 1.43
Lösning 1.4.3.a
Lösning 1.4.3.a
Lösning 1.4.3.b
Lösning 1.4.3.b

{Moduloräkning}


Övning 1.5.1

a) Konvertera talet \displaystyle 201_3 till bas 4. b) Det går att använda sig av baser högre än 10: till exempel kan vi räkna i basen elva. Då kommer vi behöva en symbol som representerar värdet 10 (här kan vi till exempel använda oss av symbolen \displaystyle \bigstar). Systemet fungerar precis likadant som för baser under tio: till exempel kan vi konvertera talet \displaystyle 13\bigstar02_{11} till basen 10 genom att räkna följande: \displaystyle 1*11^4+3*11^3+10*11^2+0*11^1+2*11^0=19846.

Konvertera nu talet \displaystyle 252_{10} till basen 11.

Svar
Svar 1.5.1
Lösning 1.5.1.a
Lösning 1.5.1.a
Lösning 1.5.1.b
Lösning 1.5.1.b

Övning 1.8.1

Förenkla \displaystyle (1+i)^{2012}-(1-i)^{2012}
Svar
Svar 1.8.1
Lösning 1.8.1
Lösning 1.8.1


Övning 1.8.2

Antag att vi definierar en sekvens av komplexa tal genom \displaystyle z_1 =0

och \displaystyle z_{n+1}=z^2_n+i för \displaystyle n \geq 1. Hur långt från origo kommer då \displaystyle z_{111} befinna sig? (Källa: AHSME)

Svar
Svar 1.8.2
Lösning 1.8.2
Lösning 1.8.2

Övning 1.8.3

För heltalsvärden på n, vilka värden kan \displaystyle i^n+i^{-n} anta?
Svar
Svar 1.8.3
Lösning 1.8.3
Lösning 1.8.3

Övning 1.8.5

a) Är \displaystyle \sqrt{2} ett reellt eller komplext tal? b) Är \displaystyle 3+3i ett reellt eller ett komplext tal? c) Hitta alla komplexa rötter till \displaystyle p(z) = z^3+z=0 . Hur många reella rötter har \displaystyle p(z) Hur många komplexa rötter har den?

Kan en funktion ha fler reella än komplexa rötter?

Svar
Svar 1.8.5
Lösning 1.8.5a
Lösning 1.8.5a
Lösning 1.8.5b
Lösning 1.8.5b
Lösning 1.8.5c
Lösning 1.8.5c

Övning 1.9.1

a) Utveckla\displaystyle (x+y)²-(x-y)² b) Använd ovanstående för att beräkna \displaystyle 46 \cdot 54.
Svar
Svar 1.9.1
Lösning 1.9.1.a
Lösning 1.9.1.a
Lösning 1.9.1.b
Lösning 1.9.1.b

Övning 1.8.6

Låt \displaystyle z=a+bi. Vi vet att \displaystyle z/(3+4i)=2+i. Bestäm \displaystyle a och \displaystyle b.
Svar
Svar 1.8.6
Lösning 1.8.6
Lösning 1.8.6


Övning 1.9.1

a) Utveckla\displaystyle (x+y)²-(x-y)² b) Använd ovanstående för att beräkna \displaystyle 46 \cdot 54.
Svar
Svar 1.9.1
Lösning 1.9.1.a
Lösning 1.9.1.a
Lösning 1.9.1.b
Lösning 1.9.1.b


Övning 2.1

Bestäm vilka av följande påståenden som är sanna för reella tal \displaystyle x.

a) \displaystyle x>2 \Rightarrow x\geq -1 b) \displaystyle x >2 \Leftarrow x \geq -1
c) \displaystyle x\geq 0\wedge x>1\Leftrightarrow x >1 d) \displaystyle x\geq 0 \Rightarrow x^2\geq 0 e) \displaystyle x^2<0 \Rightarrow x^2\geq 0
Svar
Svar 2.1.1
Lösning 2.1.1a
Lösning 2.1.1a
Lösning 2.1.1b
Lösning 2.1.1b
Lösning 2.1.1c
Lösning 2.1.1c
Lösning 2.1.1d
Lösning 2.1.1d
Lösning 2.1.1e
Lösning 2.1.1e


Övning 3.2.1

Låt \displaystyle f(x)=5x. Bestäm \displaystyle f:s värdemängd och avgör huruvida \displaystyle f är injektiv/surjektiv i vart och ett av följande fall:

a) \displaystyle f:\{3,5,6,7\} \to \mathbb{R} b) \displaystyle f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} c) \displaystyle f:\mathbb{R}\to \mathbb{C} d) \displaystyle f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}
Svar
Svar 3.2.1
Lösning 3.2.1.a
Lösning 3.2.1.a
Lösning 3.2.1.b
Lösning 3.2.1.b
Lösning 3.2.1.c
Lösning 3.2.1.c
Lösning 3.2.1.d
Lösning 3.2.1.d

Övning 3.2.2

Vissa funktioner har egenskapen att de är både injektiva och surjektiva, och vi kallar dessa funktioner bijektiva. En egenskap hos bijektiva funktioner är att målmängden och definitionsmängden innehåller precis lika många element. Detta är lätt att se med funktioner definierade på ändliga mängder, men samma resonemang används av matematiker för oändliga mängder. Vi säger då att två mängder har samma kardinalitet om och endast om vi kan skapa en bijektion mellan dem. Detta leder till lite märkliga samband. För att belysa ett av dem:

Kan man skapa en bijektion mellan de naturliga talen \displaystyle \mathbb{N} och heltalen \displaystyle \mathbb{Z}?

Svar
Svar 3.2.2
Lösning 3.2.2
Lösning 3.2.2

Övning 3.2.4

I kurslitteraturen beskrivs injektivitet som att en funktion \displaystyle f:{T}\rightarrow{S} är injektiv om f avbildar "skilda värden på skilda värden". Detta kan man tolka som att \displaystyle a \neq b \Rightarrow f(a) \neq f(b). Detta påstående är däremot inte alltid så praktiskt att arbeta med. En enklare formulering är det ekvivalenta \displaystyle f(a)=f(b) \Rightarrow a = b . Vi kan läsa ut denna formulering som att "om avbildningen av två element är samma, så måste de två elementen också vara samma".

Använd \displaystyle f(a)=f(b) \Rightarrow a = b för att visa att följande funktioner är injektiva. Låt \displaystyle f, g, h, p:{R} \to {R}


a) \displaystyle f(x) = 4x + 5

b) \displaystyle g(x) = x^3

c) \displaystyle h(x) = e^{x}

d) \displaystyle p(x) = h(g(x))

Lösning a)
Lösning 3.2.4a
Lösning b)
Lösning 3.2.4b
Lösning c)
Lösning 3.2.4c
Lösning d)
Lösning 3.2.4d


Övning 3.5.1

Gäller Pythagoras sats för trianglar ritade på en sfär?

Bild:Triangel.jpg

Svar
Svar 3.5.1
Lösning 3.5.1
Lösning 3.5.1

Övning 4.1.1

Beräkna följande gränsvärden.

a) \displaystyle \lim_{x\to 0}3 b) \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{x}{x^2} c) \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{x}{x} d) \displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{x^2+3}{x^3+1} e) \displaystyle lim_{x\to 0}\frac{2x^3+x^2+1}{x^3+1}
Svar
Svar 4.1.1
Lösning 4.1.1.a
Lösning 4.1.1.a
Lösning 4.1.1.b
Lösning 4.1.1.b
Lösning 4.1.1.c
Lösning 4.1.1.c
Lösning 4.1.1.d
Lösning 4.1.1.d
Lösning 4.1.1.e
Lösning 4.1.1.e

Övning 4.2.1

Antag att vi får använda att \displaystyle D(x)=1 utan bevis.
a) Visa att \displaystyle D(x^2)=2x med hjälp av produktregeln. b) Visa att \displaystyle D(x^n)= nx^{n-1} om vi antar att man vet \displaystyle D(x^{n-1})=(n-1)x^{n-2}. c) Med hjälp av b), visa att \displaystyle D(x^n)=nx^{n-1} för alla \displaystyle n.
Svar
Svar 4.2.1
Lösning 4.2.1.a
Lösning 4.2.1.a
Lösning 4.2.1.b
Lösning 4.2.1.b
Lösning 4.2.1.c
Lösning 4.2.1.c

Övning 4.3.1

a) Visa att \displaystyle -\ln(\cos x) är en primitiv funktion till \displaystyle \sin x/\cos x. b) Visa att \displaystyle x\ln(x) -x är en primitiv funktion till \displaystyle \ln (x).
Svar
Svar 4.3.1
Lösning 4.3.1.a
Lösning 4.3.1.a
Lösning 4.3.1.b
Lösning 4.3.1.b


Övning 4.3.2

Antag att vi har två deriverbara funktioner f och g så att f(x)=0 för alla x.

a) Skriv upp en formel för derivatan av \displaystyle f(x)^{g(x)} uttryckt i \displaystyle D(f(x)) och \displaystyle D(g(x)). b) Tillämpa formeln genom att derivera \displaystyle (x^2+1)^3. c) Derivera \displaystyle x^x då \displaystyle x>0. d) Derivera \displaystyle x^{\sin x} då \displaystyle x>0.
Svar
Svar 4.3.2
Lösning 4.3.2.a
Lösning 4.3.2.a
Lösning 4.3.2.b
Lösning 4.3.2.b
Lösning 4.3.2.c
Lösning 4.3.2.c
Lösning 4.3.2.d
Lösning 4.3.2.d

Övning 4.3.3

a) Derivera \displaystyle \sin x /x. b) Derivera \displaystyle \sin^3x + 3\sin x \cos x.
Svar
Svar 4.3.3
Lösning 4.3.3.a
Lösning 4.3.3.a
Lösning 4.3.3.b
Lösning 4.3.3.b

Övning 4.3.4

Våra produkt- och kvotregler för derivation är förvisso praktiska och tydliga. Emellanåt stöter man däremot på ett uttryck som verkar skrivet av någon särskilt sadistisk lärare.

Ett exempel följer: \displaystyle y = \frac{abc}{de}

Där a, b, c, d, e är deriverbara, men knepiga, funktioner av x.

Vad är då \displaystyle \frac{dy}{dx}? Finns det något smidigare sätt att lösa uppgiften på än upprepad använding av våra regler?


Lösning
Lösning 4.3.4

Övning 4.3.5

Implicit derivering går att använda till mer än jobbiga produkter. Tycker man att det är kämpigt att memorera derivator eller att ta till h-derivatan så kan vi använda denna metod istället när vi vill ta fram inversa derivator.

Kom ihåg hur vi använde kedjeregeln i föregående uppgift, och försök härleda derivatan till y=arcsin(x). Antag att vi redan vet derivatan för sin(x).

Lösning
Lösning 4.3.5
Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/forberedandematte/index.php/Testsida