Processing Math: Done
To print higher-resolution math symbols, click the
Hi-Res Fonts for Printing button on the jsMath control panel.
No jsMath TeX fonts found -- using image fonts instead.
These may be slow and might not print well.
Use the jsMath control panel to get additional information.
jsMath Control PanelHide this Message

jsMath

19.1 Spektralsatsen

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
(Ny sida: {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |   {{Mall:Vald flik|19.1}} {{Mall:...)
Nuvarande version (7 december 2010 kl. 15.04) (redigera) (ogör)
 
(2 mellanliggande versioner visas inte.)
Rad 8: Rad 8:
-
Läs textavsnitt [http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/img_auth.php/4/49/Kap4_1.pdf 4.1 Definition av vektorprodukt].
+
Läs textavsnitt [http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/img_auth.php/5/50/Kap19_1.pdf 19.1 Spektralsatsen].
-
Du har nu läst definitionen av determinanter av ordning 2 och 3 och här kommer några övningar som testar om du har tagit till dig stoffet.
+
Du har nu läst om spektralsatsen och här kommer några övningar som testar om du har tagit till dig stoffet.
-
===Övning 19.1===
+
__TOC__
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 22.10===
 +
Den symmetriska avbildningen <math> F:{\bf E^3}\rightarrow{\bf E^3}
 +
</math> ges i en ON-bas <math> \underline{\boldsymbol{e}} </math> av
 +
matrisen
 +
<center><math>
 +
\left( \begin{array}{rrr} 1& 2& 3\\2 & 2& 2\\ 3& 2& 1\end{array}\right).
 +
</math></center>
 +
 
 +
Bestäm en ON-bas bestående av egenvektorer till <math> F </math>.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.10|Tips och lösning|Tips och lösning till U 22.10}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 22.11===
 +
Bestäm en ON-bas av egenvektorer till den linjära avbildning som i en viss ON-bas har matrisen
 +
<center><math>
 +
\left( \begin{array}{rrr} 0& 0& 1\\0 & 1& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right).
 +
</math></center>
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.11|Tips och lösning|Tips och lösning till U 22.11}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 22.12===
 +
En linjär avbildning <math> F </math> på rummet har i ON-basen <math> \underline{\boldsymbol{e}}= \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} </math> matrisen
 +
 
 +
 
 +
<center><math>
 +
\left( \begin{array}{rrr} 3& 2& 2\\2 & 2& 0\\ 2& 0& a\end{array}\right).
 +
</math></center>
 +
 
 +
 
 +
a) Bestäm konstanten <math> a </math> så att <math> \boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2-2\boldsymbol{e}_3 </math> blir en egenvektor till <math> F </math>.
 +
 
 +
b) Finn för detta <math> a </math> en ON-bas av egenvektorer för rummet.
 +
 
 +
c) Ge exempel på en högerorienterad ON-bas i b).
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.12|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 22.12a
 +
|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 22.12b
 +
|Tips och lösning till c)|Tips och lösning till U 22.12c}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 22.13===
 +
Bestäm en bas för <math> {\bf R}^3 </math>, som består av egenvektorer till matrisen
 +
<center><math>
 +
\left( \begin{array}{rrr} 1& 2& 1\\2 & 1& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right).
 +
</math></center>
 +
och beräkna koordinaterna för vektorn <math> (0,1,0)^t </math> i denna bas av egenvektorer.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.13|Tips och lösning|Tips och lösning till U 22.13}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 22.14===
 +
Vilken <math>3\times3</math> matris har egenvärden 1,3 och 4 hörande till egenvektorerna <math> (1,2,1)^t </math>, <math> (1,0,-1)^t </math> resp. <math> (1,-1,1)^t </math>.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.14|Tips och lösning|Tips och lösning till U 22.14}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 22.15===
 +
Antag att <math> F:{\bf E^2}\rightarrow{\bf E^2} </math> är en linjär avbildning som i basen <math> \underline{\boldsymbol{e}} </math> har avbildningsmatrisen
 +
<center><math>
 +
A_{\boldsymbol{e}}=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{rr}2&-1\\-1&2\end{array}\right).
 +
</math></center>
 +
 
 +
a) Bestäm en bas <math> \underline{\boldsymbol{f}} </math> för <math> E^2 </math> bestående av egenvektorer till <math> F </math>.
 +
 
 +
b) Bestäm bassambandet samt sambandet mellan avbildningsmatriserna <math> A_{\boldsymbol{e}} </math> och <math> A_{\boldsymbol{f}} </math>.
 +
 
 +
c) Beräkna <math> A_{\boldsymbol{e}}^{5} </math>, <math> A_{\boldsymbol{e}}^{-1} </math> och <math> \lim_{n\rightarrow\infty}A^n_{\boldsymbol{e}} </math>.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.15|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 22.15a
 +
|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 22.15b
 +
|Tips och lösning till c)|Tips och lösning till U 22.15c}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 22.16===
 +
Bestäm en ortogonal matris <math> T </math> sådan att <math> T^tAT </math> är en diagonalmatris, då
 +
 
 +
{| width="100%" cellspacing="10px"
 +
|a)
 +
|width="50%" | <math>A=\begin{pmatrix}7&4\\4&13\end{pmatrix}</math>
 +
|b)
 +
|width="50%" | <math>A=\left( \begin{array}{rrr} -1&0&2\\0&1&-2\\2&-2&0\end{array}\right)</math>
 +
|}
 +
 
 +
 
 +
{| width="100%" cellspacing="10px"
 +
|c)
 +
|width="50%" | <math>A=\left( \begin{array}{rrr} 4&-2&-2\\-2&-5&7\\-2&7&-5\end{array}\right)</math>
 +
|d)
 +
|width="50%" | <math>A=\left( \begin{array}{rrrr}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\end{array}\right)</math>
 +
|}
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.16|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 22.16a
 +
|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 22.16b
 +
|Tips och lösning till c)|Tips och lösning till U 22.16c
 +
|Tips och lösning till d)|Tips och lösning till U 22.16d}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 22.17===
 +
En linjär avbildning <math>F </math> på rummet har i en viss ON-bas matrisen
 +
<center><math>
 +
A=\frac{1}{3}\left( \begin{array}{rrr} 1&2&0\\2&0&2\\0&2&-1\end{array}\right)
 +
</math></center>
 +
 
 +
a) Bestäm en ON-bas för rummet bestående av egenvektorer till <math>F </math>.
 +
 
 +
b) Bestäm matrisen för avbildningen <math>F^{1789} </math>.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.17|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 22.17a
 +
|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 22.17b}}
 +
 
 +
 
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 22.18===
 +
Bestäm en matris <math>B </math>
 +
sådan att
 +
<math>B^2=\left(\begin{array}{rr} 5&4\\4&5 \end{array}\right) </math>.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.18|Tips och lösning|Tips och lösning till U 22.18}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 22.19===
 +
En linjär avbildning <math>F </math> på rummet har i en positivt orienterad ON-bas <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} </math> matrisen
 +
{| width="100%" cellspacing="10px"
 +
|a)
 +
|width="50%" | <math>A_1=\frac{1}{3}\left( \begin{array}{rrr} 2&-1&-1\\-1&2&-1\\-1&-1&2\end{array}\right)</math>
 +
|b)
 +
|width="50%" | <math>A_2=\left( \begin{array}{rrr} -3&-2&-1\\2&-1&-1\\2&-2&0\end{array}\right)</math>
 +
|}
 +
 
 +
 
 +
{| width="100%" cellspacing="10px"
 +
|c)
 +
|width="50%" | <math>A_3=\frac{1}{3}\left( \begin{array}{rrr} 2&1&2\\-2&2&1\\-1&-2&2\end{array}\right)</math>
 +
|d)
 +
|width="50%" | <math>A_4=\frac{1}{6}\left( \begin{array}{rrr} -1&-2&-3\\2&4&6\\1&2&3\end{array}\right)</math>
 +
|}
 +
Utred så detaljerat som möjligt <math>F</math>:s geometriska betydelse.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.19|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 22.19a
 +
|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 22.19b
 +
|Tips och lösning till c)|Tips och lösning till U 22.19c
 +
|Tips och lösning till d)|Tips och lösning till U 22.19d}}

Nuvarande version

       19.1          19.2          19.3      


Läs textavsnitt 19.1 Spektralsatsen.

Du har nu läst om spektralsatsen och här kommer några övningar som testar om du har tagit till dig stoffet.


Innehåll

[göm]

Övning 22.10

Den symmetriska avbildningen F:E3E3 ges i en ON-bas av matrisen

123222321

Bestäm en ON-bas bestående av egenvektorer till F.

Svar | Tips och lösning


Övning 22.11

Bestäm en ON-bas av egenvektorer till den linjära avbildning som i en viss ON-bas har matrisen

001010100

Svar | Tips och lösning



Övning 22.12

En linjär avbildning F på rummet har i ON-basen ==123 matrisen


32222020a


a) Bestäm konstanten a så att 1+22−23 blir en egenvektor till F.

b) Finn för detta a en ON-bas av egenvektorer för rummet.

c) Ge exempel på en högerorienterad ON-bas i b).

Svar | Tips och lösning till a) | Tips och lösning till b) | Tips och lösning till c)


Övning 22.13

Bestäm en bas för R3, som består av egenvektorer till matrisen

121211112

och beräkna koordinaterna för vektorn (010)t i denna bas av egenvektorer.

Svar | Tips och lösning


Övning 22.14

Vilken 33 matris har egenvärden 1,3 och 4 hörande till egenvektorerna (121)t, (10−1)t resp. (1−11)t.

Svar | Tips och lösning



Övning 22.15

Antag att F:E2E2 är en linjär avbildning som i basen har avbildningsmatrisen

A=312−1−12 

a) Bestäm en bas för E2 bestående av egenvektorer till F.

b) Bestäm bassambandet samt sambandet mellan avbildningsmatriserna A och A.

c) Beräkna A5, A−1 och limnAn.

Svar | Tips och lösning till a) | Tips och lösning till b) | Tips och lösning till c)


Övning 22.16

Bestäm en ortogonal matris T sådan att TtAT är en diagonalmatris, då

a) A=74413  b) A=−10201−22−20


c) A=4−2−2−2−57−27−5 d) A=0001001001001000

Svar | Tips och lösning till a) | Tips och lösning till b) | Tips och lösning till c) | Tips och lösning till d)



Övning 22.17

En linjär avbildning F på rummet har i en viss ON-bas matrisen

A=3112020202−1

a) Bestäm en ON-bas för rummet bestående av egenvektorer till F.

b) Bestäm matrisen för avbildningen F1789.

Svar | Tips och lösning till a) | Tips och lösning till b)


Övning 22.18

Bestäm en matris B sådan att B2=5445 .

Svar | Tips och lösning



Övning 22.19

En linjär avbildning F på rummet har i en positivt orienterad ON-bas =123 matrisen

a) A1=312−1−1−12−1−1−12 b) A2=−322−2−1−2−1−10


c) A3=312−2−112−2212 d) A4=61−121−242−363

Utred så detaljerat som möjligt F:s geometriska betydelse.

Svar | Tips och lösning till a) | Tips och lösning till b) | Tips och lösning till c) | Tips och lösning till d)

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/19.1_Spektralsatsen