Slaskövning13

Övning 13.1

Låt \displaystyle \boldsymbol{f}_1=(2,1,2,1)^t och \displaystyle \boldsymbol{f}_2=(2,5,1,4)^t vara två vektorer i \displaystyle {\bf R}^4 . Bestäm talet \displaystyle \lambda så att vektorn \displaystyle \lambda\boldsymbol{f}_1+\boldsymbol{f}_2 blir ortogonal mot \displaystyle \boldsymbol{f}_1 .

Övning 13.2

Bestäm vinkeln mellan \displaystyle \boldsymbol{f}_1=(1,2,3,1,1)^t och \displaystyle \boldsymbol{f}_2=(1,2,1,-1,1)^t i \displaystyle {\bf R}^5 .

Övning 13.3

Beräkna sidlängder och vinklar i den triangel i \displaystyle {\bf R}^5 som har hörn i punkterna \displaystyle (2,4,2,4,2) , \displaystyle (6,4,4,4,6) och \displaystyle (5,7,5,7,2) .

Övning 13.4

Ange reella tal \displaystyle a och \displaystyle b så att

blir en skalärprodukt i \displaystyle {\bf R}^2 , där \displaystyle \boldsymbol{u}=(x_1,x_2)^t och \displaystyle \boldsymbol{v}=(y_1,y_2)^t .

Övning 13.5

I \displaystyle {\bf R}^3 införs skalärprodukten

där \displaystyle \boldsymbol{u}=(x_1,x_2,x_3)^t och \displaystyle \boldsymbol{v}=(y_1,y_2,y_3)^t . Bestäm längden av vektorn \displaystyle (1,-2,1)^t .

Övning 13.6

För vilka värden på \displaystyle a är vektorerna \displaystyle (a,1,1)^t och \displaystyle (a,1,a)^t ortogonala med avseende på skalärprodukten

i \displaystyle {\bf R}^3 .

Övning 13.7

Betrakta vektorerna \displaystyle \boldsymbol{v}_1=(1/2,1/2,1/2,1/2)^t , \displaystyle \boldsymbol{v}_2=(1/2,1/2,-1/2,-1/2)^t och \displaystyle \boldsymbol{v}_3=(1/2,-1/2,-1/2,1/2)^t .

a) Visa att vektorerna utgör en ON-mängd i \displaystyle {\bf E}^4 .

b) Bestäm en ekvation för det underrum som spänns upp av vektorerna ovan.

c) Fyll ut mängden till en ON-bas i \displaystyle {\bf E}^4 .

d) Bestäm koordinaterna för \displaystyle \boldsymbol{u}=(1,0,0,2)^t i basen Du har valt i c).

Övning 13.8

Bestäm talen \displaystyle a , \displaystyle b och \displaystyle c , så att

a) Vektorerna \displaystyle \boldsymbol{v}_1=\frac{1}{7}(2,3,6)^t , \displaystyle \boldsymbol{v}_2=\frac{1}{7}(6,2,a)^t och \displaystyle \boldsymbol{v}_3=\frac{1}{7}(b,c,2)^t bildar en ON-bas för \displaystyle {\bf E}^3 .

b) Matrisen

blir ortogonal. (Se Definition 6.36.)

Övning 13.9

Bestäm en ON-bas för underrummet \displaystyle W=[(2,1,0,1)^t,(4,-5,1,3)^t]\subset{\bf R}^4 .

Övning 13.10

Låt

Dela upp \displaystyle \boldsymbol{u}=(1,1,1,1)^t i en summa av två vektorer där den ena ligger i \displaystyle W och den andra är ortogonal mot \displaystyle W .

Övning 13.11

Låt

Bestäm en ON-bas för det ortogonala komplementet \displaystyle W^{\perp} till \displaystyle W .

Övning 13.12

Låt \displaystyle W=[(1,1,1,1)^t,(2,0,2,0)^t]\subset{\bf E}^4 .

a) Bestäm en ON-bas för \displaystyle W .

b) Utvidga ON-basen i \displaystyle W till en ON-bas för hela \displaystyle {\bf E}^4 .

c) Låt \displaystyle \boldsymbol{u}=(0,4,4,0)^t . Bestäm ortogonala projektionerna \displaystyle P_{W}(\boldsymbol{u})=\boldsymbol{u}_{\parallel W} och \displaystyle P_{W^\perp}(\boldsymbol{u})=\boldsymbol{u}_{\parallel W^\perp} .

d) Bestäm avståndet från punkten \displaystyle (0,4,4,0) till \displaystyle W .

e) Låt \displaystyle \boldsymbol{u}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t . Bestäm ortogonala projektionen \displaystyle P_{W}(\boldsymbol{u}) .

Övning 13.13

Låt \displaystyle W=[(1,1,1,1)^t,(1,2,2,1)^t,(2,3,1,6)^t] .

a) Ange en ekvation för \displaystyle W .

b) Bestäm först en ON-bas för \displaystyle W och utvidga sen till en ON-bas för hela \displaystyle {\bf E}^4 .

c) Bestäm koordinaterna för \displaystyle \boldsymbol{u}=(2,2,6,2)^t i denna bas.

d) Dela upp \displaystyle \boldsymbol{u} i \displaystyle \boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}_{\parallel W}+\boldsymbol{u}_{\parallel W^\perp} .

e) Låt \displaystyle \boldsymbol{u}=(2,2,6,2)^t och bestäm den vektor \displaystyle \boldsymbol{w}\in W som minimerar avståndet \displaystyle ||\boldsymbol{u}-\boldsymbol{w}|| , dvs ligger närmast \displaystyle \boldsymbol{u} .

f) Ange detta minimum.

Övning 13.14

Låt \displaystyle W=\{\boldsymbol{x}\in{\bf R}^4:\ x_1+2x_2-x_3+4x_4=0\} .

a) Bestäm först en ON-bas för \displaystyle W och utvidga sen till en ON-bas för hela \displaystyle {\bf E}^4 .

b) Bestäm koordinaterna för \displaystyle \boldsymbol{u}=(2,3,6,2)^t i denna bas.

c) Dela upp \displaystyle \boldsymbol{u} i \displaystyle \boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}_{\parallel W}+\boldsymbol{u}_{\parallel W^\perp} .

d) Låt \displaystyle \boldsymbol{u}=(2,3,6,2)^t och bestäm den vektor \displaystyle \boldsymbol{w}\in W som minimerar avståndet \displaystyle ||\boldsymbol{u}-\boldsymbol{w} ||, dvs ligger närmast \displaystyle \boldsymbol{u} .

e) Ange detta minimum.

Övning 13.15

Sätt

a) Bestäm en ON-bas i \displaystyle W .

b) Utvidga ON-basen i a) till en ON-bas för hela \displaystyle {\bf E}^4 .

c) Dela upp \displaystyle \boldsymbol{u}=(-1,1,1,1)^t i \displaystyle \boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}_{\parallel W}+\boldsymbol{u}_{\perp W} , där \displaystyle \boldsymbol{u}_{\parallel W}\in W och \displaystyle \boldsymbol{u}_{\perp W}\in W^{\perp} .

Övning 13.16

Vilken vektor i

ligger närmast \displaystyle (1,2,3,2)^t ?

Övning 13.17

Bestäm en ON-bas för \displaystyle {\bf E}^4 , där så många som möjligt av baselementen tillhör