Tips och lösning till U 13.8a
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Det är tre saker som styr om en mängd vektorer bildar en ON-bas.
Tips 2
De tre är:
- Rätt antal. I detta fall tre stycken eftersom dimensionen är tre
- Vektorerna skall vara inbördes ortogonala
- Vektorernas längd skall vara 1
Tips 3
Rätt antal klart och parvis ortogonala undersökes med \displaystyle \left\{\begin{array}{rcl} ( \boldsymbol{v}_1 | \boldsymbol{v}_2) = ((2,3,6)^t|(6,2,a)^t)&=&0\\ ( \boldsymbol{v}_1 | \boldsymbol{v}_3) = ((2,3,6)^t|(b,c,2)^t)&=&0\\ ( \boldsymbol{v}_1 | \boldsymbol{v}_3) = (|(6,2,a)^t|(b,c,2)^t)&=&0 \end{array}\right. Vidare bestämmer vi längden till 1 med beräkningen
\left\{\begin{array}{rcl} ||\boldsymbol{v}_1||=\frac{1}{7} ||(2,3,6)^t||&=&1\\
||\boldsymbol{v}_2||=\frac{1}{7} ||(b,c,2)^t ||&=&1\\
||\boldsymbol{v}_3||=\frac{1}{7} || (b,2,a)^t || &=&1\\ \end{array}\right.
Lösning
Vektorerna bildar en ON-bas om de är parvis ortogonala och normerade.
Detta ger följande system
\left\{\begin{array}{rcl} ( \boldsymbol{v}_1 | \boldsymbol{v}_2) = ((2,3,6)^t|(6,2,a)^t)&=&0\\ ( \boldsymbol{v}_1 | \boldsymbol{v}_3) = ((2,3,6)^t|(b,c,2)^t)&=&0\\ ( \boldsymbol{v}_1 | \boldsymbol{v}_3) = (|(6,2,a)^t|(b,c,2)^t)&=&0 \end{array}\right.
och
\left\{\begin{array}{rcl} ||\boldsymbol{v}_1||=\frac{1}{7} ||(2,3,6)^t||&=&1\\
||\boldsymbol{v}_2||=\frac{1}{7} ||(b,c,2)^t ||&=&1\\
||\boldsymbol{v}_3||=\frac{1}{7} || (b,2,a)^t || &=&1\\ \end{array}\right.
Vi löser det översta systemet ovan och kontrollerar med det nedersta, så får vi att \displaystyle a=-3 , \displaystyle b=3 och \displaystyle c=-6 .
