Tips och lösning till U 13.3
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Sidlängden=längden (=normen) av den vektor som vildar sidan. Vinkeln mellan två sidor är vinkeln mellan två vektorer som utgår från samma hörn.
Tips 2
Föratt bilda de vektorer som ligger längs sidorna tar du fram ortsvektorerna som går mellan origo och hörnen. Har du hörnens vektorer så kan du nu bilda vektorn som går mellan hörnen. Om du kallar hörnen \displaystyle P_0 , \displaystyle P_1 och \displaystyle P_2 och origo O får du en sidas vektor ur sambandet
\boldsymbol{u}=\overrightarrow{P_1P_0}=\overrightarrow{OP_1}-\overrightarrow{OP_0}=(6,4,4,4,6)^t-(2,4,2,4,2)^t=(4,0,2,0,4)^t
Tips 3
Gör nu samma beräkning för de övriga sidorna. När detta är klart kan du beräkna längden av sidorna som normen för vektorerna. Observera att sidorna blir lika långa så du kan göra förenklingar då du skall beräkna triangelns vinklar.
Lösning
Kalla punkterna \displaystyle P_0 , \displaystyle P_1 och \displaystyle P_2 .
Låt \displaystyle O vara origo i rummet och
bilda sidorna i triangeln
\boldsymbol{u}=\overrightarrow{P_1P_0}=\overrightarrow{OP_1}-\overrightarrow{OP_0}=(6,4,4,4,6)^t-(2,4,2,4,2)^t=(4,0,2,0,4)^t
\boldsymbol{v}=\overrightarrow{P_2P_0}=\overrightarrow{OP_2}-\overrightarrow{OP_0}= (5,7,5,7,2)^t-(2,4,2,4,2)^t=(3,3,3,3,3)^t
\boldsymbol{w}=\overrightarrow{P_2P_1}=\overrightarrow{OP_2}-\overrightarrow{OP_1}=(6,4,4,4,6)^t-(5,7,5,7,2)^t=(1,-3,-1,-3,4)^t.
Dessa vektorer har längden
\displaystyle ||\boldsymbol{u}|| = ||\boldsymbol{v} = ||\boldsymbol{w}|| = 6 .
Alltså är triangeln liksig med sidlängd 6 l.e. För en sådan triangel
är vinklarna lika med \displaystyle \frac{\pi}{3} .
T.ex., så är vinkeln \displaystyle \theta=\frac{\pi}{3} mellan \displaystyle \boldsymbol{u} och \displaystyle \boldsymbol{v} enligt
\cos\theta=\frac{ (\boldsymbol{u}| \boldsymbol{v}) }{
\boldsymbol{u}|| \cdot
||\boldsymbol{v}|| }=\frac{\sqrt3}{2}.
