Tips och lösning till U 13.7b
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Du skall alltså söka alla linjärkombinationer av de givna vektorerna.
Tips 2
Alla linjärkombinationer kan beräknas enligt\boldsymbol{v}=\lambda_1\boldsymbol{v}_1+\lambda_2\boldsymbol{v}_2+\lambda_3\boldsymbol{v}_3
\Leftrightarrow
\left(\begin{array}{rrr|r}1/2&1/2&1/2&x_1\\1/2&1/2&-1/2&x_2\\
1/2&-1/2&-1/2&x_3\\1/2&-1/2&1/2&x_4\end{array}\right)
\Leftrightarrow
\left(\begin{array}{rrr|r}1&1&1&2x_1\\1&1&-1&2x_2\\1&-1&-1&2x_3\\1&-1&1&2x_4\end{array}\right)
Tips 3
Du skall återigen lösa ett ekvationssystem där du söker sambandet mellan de fyra koordinaterna.
Lösning
Underrummet \displaystyle W=[\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3] mängden av alla linjär kombinationer.
En vektor \displaystyle \boldsymbol{v}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t tillhör \displaystyle W om
\boldsymbol{v}=\lambda_1\boldsymbol{v}_1+\lambda_2\boldsymbol{v}_2+\lambda_3\boldsymbol{v}_3
\Leftrightarrow
\left(\begin{array}{rrr|r}1/2&1/2&1/2&x_1\\1/2&1/2&-1/2&x_2\\
1/2&-1/2&-1/2&x_3\\1/2&-1/2&1/2&x_4\end{array}\right)
\Leftrightarrow
\left(\begin{array}{rrr|r}1&1&1&2x_1\\1&1&-1&2x_2\\1&-1&-1&2x_3\\1&-1&1&2x_4\end{array}\right)
\Leftrightarrow\cdots\Leftrightarrow
\left(\begin{array}{rrr|r}1&1&1&2x_1\\0&0&-2&2x_2-2x_1\\0&0&0&2x_1-2x_2+2x_3-2x_4\\0&-2&0&2x_4-2x_1\end{array}\right).
Systemet är lösbart endast om \displaystyle x_1-x_2+x_3-x_4=0 , dvs
W=[\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3]=\{\boldsymbol{u}\in{\bf E}^4:\ x_1-x_2+x_3-x_4=0\}.
