Tips och lösning till U 13.11

Tips 1

Ortogonala komplementet är mängden av alla vektorer som är ortogonala mot de vektorer som spänner upp W. Först måste vi fastställa dimensionen för det ortogonala komplementet W.

Tips 2

dimW=dimE5−dimW=3 Obs du måste visa att dimensionen för W är 2. I nästa steg skall vi då finna tre vektorer som bildar bas för dimW. Beskriv nu i ett ekvationssystem de villkor som gäller för att vektorerna i dimW skall vara ortogonala mot de två givna vektorerna som spänner upp W.

Tips 3

Om vi låter W=[1=(12000)t2=(10300)t] och kallar vektorerna i  W för =(x1x2x3x4x5)tE5 så får vi ekvationssystemet (1)(2)==x1+2x2x1+3x3==00  Via en parameterlösning får du tre vektorer som bildar bas. Kontrollera att dessa är ortogonal inbördes (om de inte skulle vara ortogonala får du köra en G-S process). Därefter normerar du.

Lösning

Visa att dimW=2, där W=[1=(12000)t2=(10300)t].

Ortogonala komplementet W med dimW=dimE5−2=3 är mängden av alla vektorer ortogonala mot W.

Bestäm alltså alla vektorer sådana att (1)=0 och (2)=0.

Om =(x1x2x3x4x5)tE5, så är

(1)(2)==x1+2x2x1+3x3==00 

Sätt x1=6t. Då är x2=−3t och x3=−2t. Sätt vidare x4=s och x5=r. Då är

=r(00001)t+s(00010)t+t(6−3−200)t

Alltså är W=[(00001)t(00010)t(6−3−200)t]. Dessa är ortogonala; kvar att normera.

En ON-bas för W är alltså (00001)t, (00010)t och 71(6−3−200)t].