Tips och lösning till U 13.11

Tips 1

Ortogonala komplementet är mängden av alla vektorer som är ortogonala mot de vektorer som spänner upp W. Först måste vi fastställa dimensionen för det ortogonala komplementet \displaystyle W^\perp .

Tips 2

\displaystyle \dim W^\perp=\dim{\bf E}^5-\dim W=3 Obs du måste visa att dimensionen för W är 2. I nästa steg skall vi då finna tre vektorer som bildar bas för \displaystyle \dim W^\perp. Beskriv nu i ett ekvationssystem de villkor som gäller för att vektorerna i \displaystyle \dim W^\perp skall vara ortogonala mot de två givna vektorerna som spänner upp W.

Tips 3

Om vi låter \displaystyle W=[\boldsymbol{v}_1=(1,2,0,0,0)^t,\boldsymbol{v}_2=(1,0,3,0,0)^t] och kallar vektorerna i \displaystyle \ W^\perp för \displaystyle \boldsymbol{w}=(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)^t\in {\bf E}^5 så får vi ekvationssystemet \displaystyle \left\{\begin{array}{rcrcr}(\boldsymbol{w}|\boldsymbol{v}_1)&=&x_1+2x_2&=&0\\(\boldsymbol{w}|\boldsymbol{v}_2)&=&x_1+3x_3&=&0\end{array}\right. Via en parameterlösning får du tre vektorer som bildar bas. Kontrollera att dessa är ortogonal inbördes (om de inte skulle vara ortogonala får du köra en G-S process). Därefter normerar du.

Lösning

Visa att \displaystyle \dim W=2 , där \displaystyle W=[\boldsymbol{v}_1=(1,2,0,0,0)^t,\boldsymbol{v}_2=(1,0,3,0,0)^t] .

Ortogonala komplementet \displaystyle W^\perp med \displaystyle \dim W^\perp=\dim{\bf E}^5-2=3 är mängden av alla vektorer \displaystyle \boldsymbol{w} ortogonala mot \displaystyle W .

Bestäm alltså alla vektorer \displaystyle \boldsymbol{w} sådana att \displaystyle (\boldsymbol{w}|\boldsymbol{v}_1)=0 och \displaystyle (\boldsymbol{v}|\boldsymbol{v}_2)=0 .

Om \displaystyle \boldsymbol{w}=(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)^t\in {\bf E}^5 , så är

\displaystyle

\left\{\begin{array}{rcrcr}(\boldsymbol{w}|\boldsymbol{v}_1)&=&x_1+2x_2&=&0\\(\boldsymbol{w}|\boldsymbol{v}_2)&=&x_1+3x_3&=&0\end{array}\right.

Sätt \displaystyle x_1=6t . Då är \displaystyle x_2=-3t och \displaystyle x_3=-2t . Sätt vidare \displaystyle x_4=s och \displaystyle x_5=r . Då är

\displaystyle

\boldsymbol{w}=r(0,0,0,0,1)^t+s(0,0,0,1,0)^t+t(6,-3,-2,0,0)^t.

Alltså är \displaystyle W^{\perp}=[(0,0,0,0,1)^t,(0,0,0,1,0)^t,(6,-3,-2,0,0)^t] . Dessa är ortogonala; kvar att normera.

En ON-bas för \displaystyle W^\perp är alltså \displaystyle (0,0,0,0,1)^t , \displaystyle (0,0,0,1,0)^t och \displaystyle \frac{1}{7}(6,-3,-2,0,0)^t] .