Tips och lösning till U 13.10

Tips 1

Grundidéen är att du skapar en ON-bas i W. Då är det lätt att få ut koordinaterna till en vektor i denna bas. Se exempelvis hur du gjorde i exempel 13.7d

Tips 2

ON-basen tar du farm med G-S process. När detta är gjort är det dags att beräkna \displaystyle \boldsymbol{u} där

\displaystyle \boldsymbol{u}_{\parallel W}

Tips 3

Du beräknar först \displaystyle \boldsymbol{u}_{\parallel W}=(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_1)\boldsymbol{e}_1+ (\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_2)\boldsymbol{e}_2=\frac{1}{5}(5,2,5,-1)^t. och därefter kan du beräkna \displaystyle \boldsymbol{u}_{\parallel W^{\perp}}= \boldsymbol{u}-\boldsymbol{u}_{\parallel W}=\frac{1}{5}(0,3,0,6)^t

Lösning

Visa att \displaystyle \dim W=[\boldsymbol{v}_1=(1,2,1,-1)^t,\boldsymbol{v}_2=(0,1,0,1)^t]=2 .

Bestäm en ON-bas i \displaystyle W mha G-S process: låt \displaystyle \boldsymbol{e}_1=\frac{1}{\sqrt7}(1,2,1,-1)^t ; vidare låt

Normera, så att \displaystyle \boldsymbol{e}_2=\frac{1}{||\boldsymbol{f}_2||}\boldsymbol{f}_2=\frac{1}{\sqrt{70}}(5,-4,5,2)^t .

Vektorn

                +\underbrace{(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_3)\boldsymbol{e}_3+(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_4)\boldsymbol{e}_4}_{\boldsymbol{u}_{\parallel
                    W^\perp}},

där

 W}=(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_1)\boldsymbol{e}_1+(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_2)\boldsymbol{e}_2=\frac{1}{5}(5,2,5,-1)^t.

och

 W}=\frac{1}{5}(0,3,0,6).