Tips och lösning till U 13.4
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Vi har här en funktion \displaystyle \varphi som uttrycker ett samband mellan två vektorer \displaystyle \boldsymbol{u}=(x_1,x_2)^t och \displaystyle \boldsymbol{v}=(y_1,y_2)^t . Detta samband är en skalärprodukt om den uppfyller definitionen för skalärprodukt (se definition 12.2)
Tips 2
Enl definitionen skall vi se till att de tre villkoren är uppfyllda, vilket kommer att ställa krav på a och b.
Tips 3
Tag ett villkor i taget och börja tex med att visa att \displaystyle \varphi är symmetrisk dvs att\varphi(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v})=\varphi(\boldsymbol{v},\boldsymbol{u})
Skriv nu om vänsterled och högerled med hjälp av det givna sambandet för \displaystyle \varphi detta leder till krav på a. Detta värde används då du går vidare med två övriga villkoren.
Lösning
Funktionen \displaystyle \varphi är skalärprodukt om den är symmetrisk, linjär och positiv definit. Låt \displaystyle \boldsymbol{u}=(x_1,x_2)^t , \displaystyle \boldsymbol{v}=(y_1,y_2)^t och \displaystyle \boldsymbol{w}=(z_1,z_2)^t . Då är \displaystyle \boldsymbol{v}+\boldsymbol{w}=(y_1+z_1,y_2+z_2)^t och \displaystyle \boldsymbol{\lambda u}=(\lambda x_1,\lambda x_2)^t . Då är \displaystyle \varphi
a) symmetrisk om
\varphi(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v})=\varphi(\boldsymbol{v},\boldsymbol{u})
\Leftrightarrow
x_1y_1+3x_1y_2+ax_2y_1+bx_2y_2= y_1x_1+3y_1x_2+ay_2x_1+by_2x_2
\Leftrightarrow
(3-a)x_1y_2+(a-3)x_2y_1=0 \Leftrightarrow a=3.
Då är
\varphi(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v})=x_1y_1+3x_1y_2+3x_2y_1+bx_2y_2
b) linjär om
i) additiv, dvs \displaystyle \varphi(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}+\boldsymbol{w})=\varphi(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v})+\varphi(\boldsymbol{u},\boldsymbol{w}) . Nu är
\begin{array}{rcl} \varphi(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}+\boldsymbol{w}) &=& x_1(y_1+z_1)+3x_1(y_2+z_2)+3x_2(y_1+z_1)+bx_2(y_2+z_2)\\ &=&x_1y_1+3x_1y_2+3x_2y_1+bx_2y_2\\ &&+x_1y_1+3x_1y_2+3x_2y_1+bx_2y_2\\ &=&\varphi(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}) + \varphi(\boldsymbol{u},\boldsymbol{w}) \end{array}
ii) homogen, dvs
\displaystyle \varphi(\lambda\boldsymbol{u},\boldsymbol{v})=\lambda\varphi(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}) .
Det följer att
\begin{array}{rcl} \varphi(\lambda\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}) &=& (\lambda x_1)y_1+3(\lambda x_1)y_2+3(\lambda x_2)y_1+b(\lambda x_2)y_2\\ &=&\lambda(x_1y_1+3x_1y_2+3x_2y_1+bx_2y_2)=\lambda\varphi(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}). \end{array}
c) positiv definit om \displaystyle \varphi(\boldsymbol{u},\boldsymbol{u}) >0 . Vi har att
\varphi(\boldsymbol{u},\boldsymbol{u}) = x_1^2+6x_1x_2+bx_2^2=(x_1+3x_2)^2+(b-9)x_2^2>0
om \displaystyle b>9 .
Alltså är \displaystyle \varphi en skalärprodukt om \displaystyle a=3 och \displaystyle b>9 .
