Tips och lösning till U 13.12c

SamverkanLinalgLIU

Hoppa till: navigering, sök

Tips 1

Genom att vi nu har tillgång till en ON-mängd så kan vi utnyttja Sats 12.22

Tips 2

Enligt Sats 12.22 ges varje vektor entydigt av

\displaystyle \boldsymbol{u}=\underbrace{(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_1)\boldsymbol{e}_1+(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_2)\boldsymbol{e}_2}_{P_W(\boldsymbol{u})=\boldsymbol{u}_{\parallel W}} 
+\underbrace{(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_3)\boldsymbol{e}_3+(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_4)\boldsymbol{e}_4}_{P_{W^\perp}(\boldsymbol{u})=\boldsymbol{u}_{\parallel W^\perp}}.
. Försök att förstå detta genom att tänka geometriskt i det 3-dimensionella rummet

Tips 3

Sätt nu in de kända vektorerna i de samband du har från Sats 12.22 och resultatet erhålles direkt.

Lösning


Enligt Sats 12.22 ges varje vektor entydigt av

\displaystyle \boldsymbol{u}=\underbrace{(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_1)\boldsymbol{e}_1+(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_2)\boldsymbol{e}_2}_{P_W(\boldsymbol{u})=\boldsymbol{u}_{\parallel W}} 
+\underbrace{(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_3)\boldsymbol{e}_3+(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_4)\boldsymbol{e}_4}_{P_{W^\perp}(\boldsymbol{u})=\boldsymbol{u}_{\parallel W^\perp}}.

Om \displaystyle \boldsymbol{u}=(0,4,4,0)^t , så är

\displaystyle

P_{W}(\boldsymbol{u})=(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_1)\boldsymbol{e}_1+(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_2)\boldsymbol{e}_2=(2,2,2,2)^t

och

\displaystyle

P_{W^\perp}(\boldsymbol{u})=(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_3)\boldsymbol{e}_3+(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_4)\boldsymbol{e}_4=(-2,2,2,-2)^t.

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_U_13.12c