Slaskövning11

Övning 11.1

Avgör vilka av följande mängder är linjära rum.

a) \displaystyle M_1=\{ alla polynom av grad exakt \displaystyle =4\ \} .

b) \displaystyle M_2=\{ alla \displaystyle 3\times3 matriser med reella element\displaystyle \ \} .

c) \displaystyle M_3=\{ alla reella funktioner definerade på\displaystyle [-1,1]\ \} .

d) \displaystyle M_4=\{ alla reella funktioner \displaystyle f definerade på \displaystyle [0,2] sådana att \displaystyle f(1)=1\ \} .

e) \displaystyle M_5=\{ alla reella funktioner \displaystyle f definerade på \displaystyle [0,2] sådana att \displaystyle f(1)=0\ \} .

Övning 11.2

Vilka av följande mängder är underrum i \displaystyle {\bf R}^3 ?

a) \displaystyle M_1=\{ \boldsymbol{x} \in {\bf R}^3:\ x_1-2x_2+3x_3=0\}

b) \displaystyle M_2=\{ \boldsymbol{x} \in {\bf R}^3:\ x_1-2x_2+3x_3=1\}

c) \displaystyle M_3=\{ \boldsymbol{x} \in {\bf R}^3:\ x_1-2x_2+3x_3=0\quad\mbox{och}\quad x_2-x_3=0\}

d) \displaystyle M_4=\{ \boldsymbol{x} \in {\bf R}^3:\ x_1=0\quad\mbox{eller}\quad x_2=0\}

Övning 11.3

Betrakta mängden \displaystyle M=\{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3\}\subset{\bf R}^4 , där \displaystyle \boldsymbol{v}_1=(1,1,1,1)^t , \displaystyle \boldsymbol{v}_2=(1,-1,1,-1)^t och \displaystyle \boldsymbol{v}_3=(1,1,-1,-1)^t .

a) Undersök om \displaystyle (6,2,0,-4)^t är en linjärkombination i \displaystyle M .

b) Undersök om \displaystyle (6,2,0,-3)^t tillhör linjära höljet \displaystyle [M] .

Övning 11.4

Låt \displaystyle M vara mängden i Övning 11.3 och låt \displaystyle U=[M] vara linjära höljet för \displaystyle M , dvs \displaystyle U är mängden av alla linjära kombinationer i \displaystyle M .

a) Ange en ekvation \displaystyle U . Vad kallas den geometriska tolkningen av \displaystyle U .

b) Visa att \displaystyle U är ett underrum.

c) Bestäm alla vektorer som inte ligger i \displaystyle U .

Övning 11.5

Låt

och

a) Ange en ekvation för \displaystyle V resp. \displaystyle W .

b) Låt mängden \displaystyle U vara som i Övning 10.4. Bestäm snittmängden \displaystyle U\cap V , dvs mängden av alla gemensamma vektorer som ligger i både \displaystyle U och \displaystyle V . Bestäm också \displaystyle U\cap W .

Övning 11.6

Visa att vektorerna

i \displaystyle {\bf R}^4 är linjärt beroende. Skriv \displaystyle \boldsymbol{v}_3 som en linjärkombination av \displaystyle \boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_4 . Kan \displaystyle \boldsymbol{v}_2 skrivas som en linjärkombination av \displaystyle \boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_3,\boldsymbol{v}_4 ?

Övning 11.7

Låt \displaystyle \boldsymbol{v}_1=(a,a,a,a)^t , \displaystyle \boldsymbol{v}_2=(1,a,a,1)^t , \displaystyle \boldsymbol{v}_3=(1,2,a,2)^t , och \displaystyle \boldsymbol{v}_4=(2,1,2,a)^t vara vektorer i \displaystyle {\bf R}^4 . För vilket eller vilka värden på \displaystyle a är vektorerna linjärt oberoende?

Övning 11.8

Mängden av punkter i \displaystyle {\bf R}^n som uppfyller en viss linjär ekvation brukar kallas ett hyperplan. T.ex. ges ett hyperplan i \displaystyle {\bf R}^4 av en ekvation av formen

Bestäm det hyperplan som går genom punkterna

Övning 11.9

Låt

och

beteckna underrum i \displaystyle {\bf R}^4 . Ange underrummet \displaystyle U\cap V .

Övning 11.10

Låt \displaystyle U och \displaystyle V vara de underrum i \displaystyle {\bf R}^4 som ges av att

och

Visa att \displaystyle U=V . (Motivera väl!)

Övning 11.11

Visa att vektorerna \displaystyle (1,2,3,4)^t , \displaystyle (0,1,2,3)^t , \displaystyle (0,0,1,2)^t , \displaystyle (0,0,0,1)^t utgör en bas för \displaystyle {\bf R}^4 . Ange koordinaterna för \displaystyle (1,1,1,1)^t i denna bas.

Övning 11.12

a) Bestäm en bas för lösningsrummet till ekvationssystemet

                                x_1&+&x_2&-&x_3& &
                                &=&0\end{array}\right.

och utvidga denna till en bas för \displaystyle {\bf R}^4 .

b) Ange koordinaterna för \displaystyle \boldsymbol{u}=(1,0,0,0)^t i basen Du har valt i a).

Övning 11.13

Ange en bas för \displaystyle U\cap V om

Övning 11.14

Bestäm dimensionen till följande underrum i \displaystyle {\bf R}^4 :

a) \displaystyle U=[(1,0,2,1)^t,(1,1,0,1)^t,(2,1,2,1)^t]

b) \displaystyle V=[(1,-1,2,1)^t,(1,-1,3,2)^t,(-1,1,0,1)^t,(1,-1,5,4)^t]

c) \displaystyle W=\{\boldsymbol{x}\in{\bf R}^4:\ x_1+x_3-2x_4=0\}

Övning 11.15

Sätt

och

a) Bestäm \displaystyle \dim U , en bas för \displaystyle U och komplettera sen den funna basen till en bas för hela \displaystyle {\bf R}^4 .

b) Bestäm \displaystyle \dim V , en bas för \displaystyle V och komplettera sen den funna basen till en bas för hela \displaystyle {\bf R}^4 .

Övning 11.16

Ange dimensionen för \displaystyle U\cap V om

Övning 11.17

Låt

och

Bestäm ett delrum \displaystyle W\subset{\bf R}^5 sådant att \displaystyle \dim W=3 , \displaystyle \dim W\cap U=2 och \displaystyle \dim W\cap V=2 .