Tips och lösning till U 11.2a
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Hej 1
Tips 2
Hej 2
Tips 3
Hej 3
Lösning
Antag att \displaystyle \boldsymbol{x}=(x_1,x_2,x_3)^t och
\displaystyle \boldsymbol{y}=(y_1,y_2,y_3)^t ligger \displaystyle {\bf R}^3 .
Vi bildar summan
\boldsymbol{z}=\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}=(x_1+y_1,x_2+y_2,x_3+y_3)^t=(z_1,z_2,z_3)^t
och undersöker om \displaystyle \boldsymbol{z}\in M_1 . Detta gör vi genom att sätta in koordinater för \displaystyle \boldsymbol{z} i villkoret för \displaystyle M_1 och se om det är uppfyllt. Vi har att
z_1-2z_2+3z_3=(x_1+y_1)-2(x_2+y_2)+3(x_3+y_3) =( x_1-2x_2+3x_3)+( y_1-2y_2+3y_3)=0.
Alltså, \displaystyle \boldsymbol{z} = \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\in M_1 . Vi undersöker om \displaystyle \lambda\boldsymbol{x}\in M_1 . Eftersom \displaystyle \lambda\boldsymbol{x}= (\lambda x_1,\lambda x_2,\lambda x_3)^t , så är
\lambda x_1-2\lambda x_2+3\lambda x_3=\lambda( x_1-2x_2+3x_3 ) =0.
Alltså gäller \displaystyle \lambda\boldsymbol{x}\in M_1 . Således har vi visat att både \displaystyle \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y} och \displaystyle \lambda\boldsymbol{x} är element i \displaystyle M_1 och därmed är \displaystyle M_1 är ett underrum i \displaystyle {\bf R}^3 .
